Deje $X$ ser un conjunto tal que $Q \subset X$.
Mostrar que $\tau = \{\emptyset\} \cup \{U \in \mathcal{P}(X): Q \subset U\}$ es una topología sobre X.
$\emptyset \in \tau$ , por definición, y $X \in \tau$ porque contiene $Q$.
Deje $U_1, U_2 \in \tau$. Por lo tanto, ($U_1 = \emptyset$ o $Q \subset U_1$) y ($U_2 = \emptyset$ o $Q \subset U_2$).
Si $ \;U_1 = \emptyset$ o $U_2 = \emptyset$,$U_1 \cap U_2 = \emptyset \in \tau$.
Si $\;Q \subset U_1 $$Q \subset U_2$,$Q\subset (U_1 \cap U_2)$. Por lo tanto, $\tau$ es cerrado bajo intersección finita.
Deje $\mathscr{C} \subset \tau$. Por tanto, para cualquier conjunto abierto $U \in \mathscr{C}, U = \emptyset$ o $Q \subset U$.
Si cada conjunto abierto $U$ $\mathscr{C}$ está vacía, entonces $\cup\mathscr{C} = \emptyset \in \tau$. Por lo tanto, se asume que al menos un conjunto abierto $U'$ $\mathscr{C}$ es no vacío. Por lo tanto, $U'$ contiene $Q$. Desde $U'$ $\subset \cup \mathscr{C}$, $Q \subset \cup \mathscr{C}$. Por lo tanto, $\cup \mathscr{C} \in \tau$.
Yo originalmente había metido hasta la última parte, al no considerar el caso por separado cuando todos los bloques abiertos en la colección estaban vacías.
Deja importantes o pequeños detalles? Cualquiera de las formas alternativas de la prueba de cierre bajo finito intersección o cierre arbitrario de la unión que puede ser útil para saber en general?
