Líneas en $\mathbb{A}^3$

Question

Esto parece intuitivo, pero estoy teniendo problemas para subir con una exacta de la matriz para el problema.

Deje $\{L_1, \ldots, L_N\}$ ser un conjunto de líneas a través del origen $(0,0,0)$ en el espacio afín $\mathbb{A}^3$ (más de un algebraicamente cerrado de campo). Muestran que después de un cambio lineal de coordenadas en $\mathbb{A}^3$, podemos suponer que $L_i$ no se encuentran en el plano de la $z=0$ cualquier $i$ y $L_i$ está en el intervalo de $(x_i,y_i,1)$ cuando la $x_i$ son parejas distintas.

Veo la segunda condición básicamente dice que las líneas no se encuentran directamente sobre la otra. Parece intuitivo que podemos rígidamente rotar los ejes de modo que estas condiciones se mantienen, y como la rotación es una transformación lineal, la declaración de la siguiente. Quiero tratar de obtener un mayor y más sólido, menos handwaving prueba.

Answer 1

Usted necesita un avión $H$ a través del origen contiene ninguna de las líneas. Así que primero vamos a demostrar que existe.

Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que ninguna de las líneas es la $z$-eje, es decir, la línea correspondiente a las ecuaciones $x=y=0$. Considerar a la familia de hyperplanes corta por $x + ay = 0$ donde $a \in k$ . Cualquiera de las dos planos que se cortan solamente en los puntos de la forma $(0,0,b)$. Dado que ninguna de las líneas es la $z$-eje, llegamos a la conclusión de que cada una de las $L_i$ se encuentra en más de un hyperplane en esta familia. Puesto que hay un número infinito de planos y un número finito de $L_i$, podemos encontrar un plano que contenga ninguna de las líneas. QED.

Ahora que conoces este plano existe, por el cambio de coordenadas se puede asumir que éste es el avión $z =0$. Ya que cada línea que pasa por el origen y ninguno de ellos está contenida en $z=0$, se deduce de inmediato que todos los $L_i$ debe contener un punto de la forma $(x_i,y_i,1)$. Si algunas de las $x_i$ son los mismos, entonces la distinción de las líneas garantiza que el correspondiente $y_i$ son diferentes. Ya tenemos un número finito de líneas, entonces podemos escoger un $C \in k$ de manera tal que el automorphism $x \rightarrow x + Cy$, $y \rightarrow y$, $z \rightarrow z$ trae las líneas originales de los que con el deseado pares de la distinción de la primera coordenada.