de la prueba - demostrar que $1! +2! +3!+\cdots+n!$ es un poder perfecto si y sólo si $n=3$

Question

Que $1! +2! +3!+\cdots+n!$ es un poder perfecto si y sólo si $n =3$

$n=3$, $1!+2!+3!=9=3^2$. También creo que la palabra 'poder' dificulta mucho probar. ¿Cómo demostrar esto? ¿Qué técnica usamos?

No tengo ninguna idea cómo proceder con esto. Me gustaria mucho algunos consejos.

Answer 1

$1!+2!+\dots + 8! \equiv 9\pmod{27}$, y cualquier término adicional agrega es $\equiv 0 \pmod{27}$.

Así que puede ser no hay energía más grande de $2$ cuando $n \ge 8$ $3$ es un factor pero $27$ no es.

No puede haber ninguna Plaza de extremos cuadrados ya sea de $n> 3$ $1!+2!+3!+4!=33$ y todos otros términos últimos dígitos $0$ y no en un $3$.

El resto de los casos finito se comprueba fácilmente.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$1! + 2! + 3! + 4! = 33$ $ $$1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153$ $ $$1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 873 \ldots $ $ el último dígito de los números es $3$ (esto sucede porque el último dígito de $n>4$ es $n!$ $0$). Ahora un número ser un cuadrado perfecto el último dígito debería ser uno de lo dígitos $1,4,5,6,9$. Por lo tanto para $n>3$ $\sum\nolimits_{i = 1}^n {i!} $ no puede ser un cuadrado perfecto.