Prueba directa de la no-zeroness de una serie de Eisenstein

Question

Pregunta: se Puede mostrar directamente a partir de su fórmula que $G_4(i)\neq0$?

Recordemos que el holomorphic Eisenstein serie de peso $2k$ está definido por: $$G_{2k}(\tau)= \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus (0,0)} \frac{1}{(m+\tau n)^{2k}}.$$

La motivación del Ejercicio 6.6 de Silverman "La Aritmética de Curvas Elípticas" pide calcular el valor especial:

$$j(i)= j(\mathbb{Z} \oplus i\mathbb{Z})=1728.$$ Donde $j(\tau)=j(\mathbb{Z} \oplus \tau \mathbb{Z}) = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2}$ $j$- invariante de la función.

Para probarlo es suficiente para mostrar la $\frac{1}{140}g_3(i):=G_6(i)=0$$\frac{1}{60}g_2(i):=G_4(i)\neq 0$.

Usando la relación $\frac{1}{(m+in)^6}=-\frac{1}{(n-im)^6}$ pruebo $G_6(i)=0$. Entonces puedo usar el hecho de que $\Delta(\tau)=g_2(\tau)^3 -27g_3(\tau)^2$ nunca es cero para deducir $G_4(i)\neq 0$ y demostrar el ejercicio.

Antes de venir para arriba con este estúpido observación pasé bastante tiempo en tratar de demostrar que $G_4(i)\neq0$ directamente de la fórmula, pero no tuve éxito. Muchas gracias!

Answer 1

Buena pregunta.

Hay un teorema de Hurwitz que dice que $$G_4(i) = \frac{16}{15} \left(\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\right)^4 = \frac{16}{15}\left(\frac{\sqrt{\pi}\cdot \Gamma(5/4)}{\Gamma(3/4)}\right)^4 = 3.151212\ldots.$$ por lo que es positivo. Pero usted no necesita el valor exacto, usted sólo necesita saber que $G_4(i)\neq 0$. Para que, reescribir $G_{2k}$ como sigue: $$G_{2k}(\tau)=\sum_{(m,n)\neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau)^{2k}}=\sum_{n\in \mathbb{Z} \setminus \{0\}} \frac{1}{n^{2k}} + 2\sum_{n=1}^\infty \sum_{m\in \mathbb{Z}} \frac{1}{(m+n\tau)^{2k}}.$$ La primera suma es $2\zeta(2k)$. Para el doble de la suma, el uso de un producto de expansión para $\sin(\pi\tau)$ y una expansión de Fourier de $\log(\sin(\pi\tau))$ uno puede mostrar que $$G_{2k}(\tau)=\sum_{n\in \mathbb{Z} \setminus \{0\}} \frac{1}{n^{2k}} + 2\sum_{n=1}^\infty \sum_{m\in \mathbb{Z}} \frac{1}{(m+n\tau)^{2k}}=2\zeta(2k)+2\frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!} \sum_{m\geq 1} \sum_{r|m} r^{2k-1}e^{2\pi i m \tau}.$$ Una prueba de esta forma alternativa de escribir $G_{2k}(\tau)$ se puede encontrar en Silverman `temas Avanzados en la aritmética de curvas elípticas", Capítulo I, Lema 7.1.1. (y, específicamente, el final de la Proposición de 7.1 en la página 57). En su caso, $$G_{4}(i)=\sum_{n\in \mathbb{Z} \setminus \{0\}} \frac{1}{n^{4}} + 2\sum_{n=1}^\infty \sum_{m\in \mathbb{Z}} \frac{1}{(m+ni)^{4}} = 2\zeta(4) + 2\frac{(2\pi )^{4}}{3!} \sum_{m\geq 1} \sum_{r|m} r^{3}e^{-2\pi m},$$ que es claramente positiva.