¿Cómo mostrar $\int_{\mathbb{R}^d} u(x) e^{-|x|^2} (e^{-|x|^2 / n} - 1)^2 dx \rightarrow 0$, si $u\in L^2(\Bbb R^n)$?

Question

Cómo puedo probar $$ e u(x) de \int_{\mathbb{R}^d} ^ {-| x | ^ 2} (e ^ {-| x | ^ 2 / n} - 1) ^ 2 dx \rightarrow 0 ¿$$ $n \rightarrow \infty$? Aquí $u \in L^2(\mathbb{R}^n)$.

Estoy pensando en el teorema de convergencia dominada, pero no sé cómo sujeto el integrando.

Gracias.

Answer 1

Agregó último:(una simple prueba) Tenemos $$\left(\exp\left(-\frac{|x|^2}n\right)\right)^2=\left(\int_0^{-\frac{|x|^2}n}e^tdt\right)^2\leq \frac{|x|^4}{n^2},$$ por lo tanto $$\left|\int_{\mathbb R^d}u(x)f_n(x)dx\right|\leq \frac 1{n^2}||u||_{L^2}\left(\int_{\mathbb R^d}e^{-2|x|^2}|x|^8dx\right)^{\frac 12},$$ y podemos concluir desde $e^{-2|x|^2}|x|^8$ es integrable. Es la muestra de que la secuencia de $\{f_n\}$ converge fuertemente a $0$.

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Podemos utilizar dominadas o por el hecho de que las funciones con soporte compacto son densos en $L^2$. Poner $f_n(x):=e^{-|x|^2}\left(\exp\left(-\frac{|x|^2}n\right)-1\right)^2$. Desde $\left(\exp\left(-\frac{|x|^2}n\right)-1\right)^2\leq 1$ todos los $x$, y para todos los $n$,$\lVert f_n\rVert_{L^2}\leq \sqrt{\int_{\mathbb R^d}e^{-2|x|^2}dx}=:M$. Deje $u\in L^2(\mathbb R^d)$$\varepsilon >0$. Deje $g$ continuas con soporte compacto $K$ tal que $\|u-g\|_{L^2}\leq\frac{\varepsilon}{M}$ (consecuencia de la monotonía teorema de convergencia). Entonces \begin{align*} \left|\int_{\mathbb R^d}u(x)e^{-|x|^2}\left(\exp\left(-\frac{|x|^2}n\right)-1\right)^2dx\right|&\leq \int_{\mathbb R^d}|u-g|f_n(x)dx +\int_{\mathbb R^d}|g|f_n(x)\\ &\leq \|u-g\|_{L^2} M+\sup |g| \int_Ke^{-|x|^2}\frac{\sup_{w\in K} |w|^4}{n^2}dx\\ &\leq \varepsilon+\sup |g|\sup_{w\in K} |w|^4\frac 1{n^2}, \end{align*} así que para todos los $\varepsilon >0$: $$\limsup_n\left|\int_{\mathbb R^d}u(x)e^{-|x|^2}\left(\exp\left(-\frac{|x|^2}n\right)-1\right)^2dx\right|\leq \varepsilon,$$ por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}\left|\int_{\mathbb R^d}u(x)e^{-|x|^2}\left(\exp\left(-\frac{|x|^2}n\right)-1\right)^2dx\right|=0.$$