¿La existencia de anticuerpos anti-derivada implica integrabilidad?

Question

Si $f$ tiene un anti-derivada en $[a,b]$ implica que el $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$?

Answer 1

La función de $f$ no necesita ser Riemann integrable sobre cualquier no-trivial de intervalo! Puede ser incluso consiguió que $f$ está acotada. Ver Volterra Función de la misma.

Answer 2

Tome $f(x)=\begin{cases} x^2\sin (1/x^2), &x\ne 0, \\ 0, &x=0. \end{cases}\quad$ $g=f'$ existe en todas partes, pero es ilimitado sobre $[-1,1]$. $g$ por lo tanto tiene una primitiva, pero no es Riemann integrable.