¿Una integral elíptica?

Question

Me encontré en un integrante de hace un rato que se ve como una integral elíptica de primera especie, sin embargo estoy teniendo problemas para ver cómo se puede poner en la forma estándar. He intentado jugar un poco con algunas identidades trigonométricas, pero no llegar a ninguna parte. Tal vez hay otra definición que me estoy perdiendo. Aquí está. Si es solucionable por el contorno de integración estaría abierto a esta así.

$$ \int_0^{\phi_0} \frac{d\phi}{\sqrt{1-a\sin{\phi}}}$$

EDITAR

Si se hace que sea más fácil, vamos a $a=2$$\phi_0=\frac\pi6$. Por la forma estándar me refiero a: $$ \int_0^{\phi_0} \frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2{\phi}}}=F(\phi_o,k) $$

Un Mathematica cálculo revela (utilizando las constantes que he mencionado):

$$\int_0^{\pi/6} \frac{d\phi}{\sqrt{1-2\sin{\phi}}}=i\left(2F(\pi/4,4)-K(1/4)\right)$$

Donde $F$ es incompleta integral elíptica de primera especie y $K$ es una integral elíptica completa de primera especie. Tenga en cuenta que Mathematica utiliza una convención diferente donde $k$ es reemplazado por el parámetro de $m=k^2$. Esta respuesta me lleva a creer que la integral se debe dividir de alguna manera.

Answer 1

Deje $\displaystyle\;\mathcal{I} = \int_0^{\phi_1} \frac{d\phi}{\sqrt{1-a\sin\phi}}\;$ ser integral en la mano. Desde $$\sin\phi = -\cos\left(\phi + \frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin^2\left(\frac{\phi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) - 1$$ Si un cambio de variable a $\theta = \frac{\phi}{2} + \frac{\pi}{4}$, tenemos $$\begin{align} \mathcal{I} &= \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{2d\theta}{\sqrt{(1+a)-2a\sin^2\theta}} = \frac{2}{\sqrt{1+a}}\int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\\ &= \frac{2}{\sqrt{1+a}}\left[ F(\theta_1,k) - F\left(\theta_0, k\right) \right] \end{align} $$ donde $\displaystyle\;\theta_0 = \frac{\pi}{4}\;$, $\displaystyle\;\theta_1 = \frac{\phi_1}{2} + \frac{\pi}{4}\;$ y $\displaystyle\;k = \sqrt{\frac{2a}{1+a}}$.

Si $0 < a < 1$, esto es lo que necesitamos.

Si $a > 1$, el módulo de $k$ para la integral elíptica es más grande que $1$. Este es generalmente indeseable. A veces esto conducirá a superficial de los números complejos en la expresión de una verdadera formación integral.

Se puede resolver este por otro cambio de variable $\sin\psi = k\sin\theta$.
Deje $\psi_0 = \sin^{-1}(k\sin\theta_0)$$\psi_1 = \sin^{-1}(k\sin\theta_1)$, tenemos

$$\frac{\sqrt{1+a}}{2}\mathcal{I} = \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{d\sin\theta}{\sqrt{(1-\sin^2\theta)(1-k^2\sin^2\theta)}} = \int_{\psi_0}^{\psi_1} \frac{k^{-1}d\sin\psi}{\sqrt{(1-k^{-2}\sin^2\psi)(1-\sin^2\psi)}}$$ Esto conduce a una expresión alternativa para la integral en la mano: $$\mathcal{I} = \sqrt{\frac{2}{a}}\int_{\psi_0}^{\psi_1} \frac{d\psi}{\sqrt{1-k^{-2}\sin^2\psi}} = \sqrt{\frac{2}{a}}\left[F(\psi_1;k^{-1}) - F(\psi_0;k^{-1})\right] $$ Para el caso de prueba $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$, esto nos da $$\mathcal{I} = K\left(\sqrt{\frac34}\right) - F\left(\sin^{-1}\sqrt{\frac23},\sqrt{\frac34}\right)$$ Usando el comando EllipticK[3/4] - EllipticF[ArcSin[Sqrt[2/3]],3/4] en WA, uno encontrar $$\mathcal{I} \approx 1.078257823749821617719337499400161014432055108246412680182...$$

Esto coincide numéricamente el resultado i*(2*EllipticF[Pi/4,4]-EllipticK[1/4]) devuelve simbólica de la integración de la integral en WA.