Demostrar que el $\sqrt[3]{p}$, $\sqrt[3]{q}$ % y $\sqrt[3]{r}$ no puede ser en la misma progresión aritmética

Question

Mi primo (no habla bien el inglés, así que estoy escribiendo en su nombre) está tratando de hacer el siguiente problema: Vamos $p$,$q$, $r$ ser diferentes de los números primos (supongamos $p<q<r$). Mostrar que $\sqrt[3]{p}$, $\sqrt[3]{q}$ y $\sqrt[3]{r}$ no puede estar en la misma progresión aritmética.

Sinceramente, no sé cómo hacerlo sin entrar en el campo de las extensiones y ese tipo de cosas, pero mi primo es en la escuela de alto nivel (se está preparando para la OMI o algo similar). Así que aquí está lo que hemos hecho hasta ahora:

Supongamos que existe una progresión: $a[n] = nd + a[0]$ donde $a[n_0] =\sqrt[3]{q}$ $ a[n_1] =\sqrt[3]{r}$

WLOG asumir que $\sqrt[3]{p} = a[0]$

Entonces debe de ser $$\frac{\sqrt[3]{q}-\sqrt[3]{p}}{n_0} = \frac{\sqrt[3]{r}-\sqrt[3]{p}}{n_1} $$ Por lo tanto,$\frac{\sqrt[3]{r}-\sqrt[3]{p}}{\sqrt[3]{q}-\sqrt[3]{p}}\in \mathbb{Q}$. Queremos demostrar que esto no puede ser, pero por desgracia no hemos tenido éxito. Hemos tratado de exponentiate, tomar las raíces del denominador, etc. sin ningún éxito. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias!

Nota: Tenemos que demostrar que no están en la misma progresión aritmética, consecutivos o no (diferentes posiciones)

Answer 1

Si $a(\sqrt[3]r - \sqrt[3]p)=b(\sqrt[3]q - \sqrt[3]p)$ $a,b \in \Bbb Z$ ($a,b$ distinto de cero y distinto),
$(b-a)\sqrt[3]p = b\sqrt[3]q - a\sqrt[3]r$,
y $(b-a)^3p = b^3q - 3ab\sqrt[3]{qr}(b\sqrt[3]q-a\sqrt[3]r)-a^3r = b^3q-3ab(b-a)\sqrt[3]{pqr} - a^3r$.
$\sqrt[3]{pqr} = (a^3r-b^3q+(b-a)^3p)/3ab(a-b)$ Es racional.

Rápidamente puede deducir una contradicción a partir de ahí.