Universalidad de Tate-conjeturas

Question

Todos sabemos que el Prof. John Tate propuesto un conjunto de conjeturas(junto con el Prof. Emil Artin) formalmente se extendían bajo el nombre de "Tate conjeturas", tienen un amplio rango de influencia en diversos campos de estudios, como por ejemplo, recientemente el Prof. Mathew Emerton en su magnífica respuesta citado que Tate conjeturas(en algún sentido) puede ser pensado como un análogo de Birch y Swinnerton-Dyer conjeturas y Prof. Emerton dio un corto intuición en el tema de la representación de la ¿cómo se puede propagar fuera de curva elíptica en elíptica de la superficie y también de que la forma de la hipótesis se pueden formular en este caso, y escribe que la formulación equivalente es "cada Frobenius invariante elemento que en realidad surge a partir de una curva definida sobre $\mathbb F$" .

Pero Prof. Emerton no había necesidad de elaborar el significado detrás de la declaración como él estaba tratando de responder a otra pregunta ( pero era la clase de mencionar todos estos detalles, en lugar de directamente va en el punto ) , pero he pensado que la comparación se puede encontrar en internet y he leído bastantes artículos, pero no pude encontrar al menos un artículo indicando claramente el vínculo entre esas conjeturas, así que quería preguntar es bajo otra pregunta (como las Matemáticas.SE les ve el esfuerzo de usuario, así que me tomó mucho tiempo a la lectura de mí y entonces quería preguntar como su fuera de mi alcance).

Así que mi principal duda es que

"¿Cómo puede uno pensar en la B. S. D y Tate-conjetura implica cada uno de los otros ? "

Debido a mi pasado fondo sé que la clasificación parte de la B. S. D tenía la intención de comentar la cardinalidad del grupo $E(\mathbb{Q})$ (conjunto de puntos racionales en $E$) mediante la vinculación de la algebraicas parte a parte analítica, pero estaba claro que en este caso, si la curva tiene mucho muchos puntos racionales, a continuación, el $N_p$ debe ser considerablemente grande empujando el producto a cero para el rango de grandes números primos, pero, ¿cómo puede el enlace de la frobenius-invariante a estas cosas y cómo puede uno demostrar que la declaración es un análogo de otros.

Para ser fuerte estoy esperando una respuesta en dar la explicación de que

Cómo puede uno decir que [$L(E,1)=0 \iff E(\mathbb{Q})$ es infinito]$\iff$[cada Frobenius invariante elemento que en realidad surge a partir de una curva definida sobre $\mathbb F$]

Quería saber las cosas que pasan debajo de ellos, como me explico cómo puede uno comparar cada uno de ellos en profundidad.(la comparación de los términos análogos presentes en cada lado)

P. S : Si la persona que contesta esta pregunta tiene algún tiempo y energía a la izquierda para contestar, voy a estar feliz de saber que la implicación de la cadena de B. S. D . (Implicación de la longitud de cadena es una nueva palabra introducida por mí sólo con el propósito de explicar, [B. S. D para las formas modulares]$\iff$[B. S. D para racionales]$\iff$[Tate-conjeturas]... , tan completa implicación de la cadena en todas las direcciones posibles, es lo que estoy intentando escuchar.

Gracias.

Answer 1

De hecho, la equivalencia de BSD y la Tate conjetura para curvas elípticas sobre un campo de función es quizás algo más sutil que he indicado en mi respuesta anterior. (Como tengo entendido, la sutileza que se encuentra en los aspectos que tienen que ver con la finitud de la Shafarevich--Tate grupo (en el BSD lado) y la finitud de la Brauer grupo (en la Tate conjetura de lado).)

En cuanto a por qué los dos conjetura debe ser equivalente, usted tiene que pensar acerca de cómo los puntos racionales de una curva elíptica $E$ a través de una función de campo de $K(C)$ (para algunos curva de $C$ sobre un campo finito) están relacionadas con la horizontal divisores de grado uno en el modelo correspondiente para $E$ como una superficie elíptica $X \to C$. A continuación, deberá relacionar horizontal divisores de grado uno a todos los divisores de a $X$, y también entender cómo la $L$-series para $E$ $K(C)$ se refiere a la $\zeta$-función (en el sentido de las conjeturas de Weil) de $X$. Finalmente, es necesario pasar a Grothendieck la descripción de la $\zeta$-función en términos de la alternancia del producto de los polinomios característicos de Frobenius en el etale cohomology de $X$. La contribución principal será a partir de las $H^2$ (desde $X$ es una superficie), y estamos interesados en el orden de la desaparición de la $L$-de la función en $1$, por lo que es la multiplicidad de $1$ como un cero del polinomio característico que importa, y este es el modulo --- importante, pero también difícil --- número de semi-simplicidad de la Frobenius acción) la igual a la dimensión de la parte fija de Frobenius en $H^2$.

El de arriba es solo un boceto, yo no voy a dar más detalles aquí, ya que la carne este sería el tema de un avanzado curso de postgrado en la aritmética, de geometría y no tengo tiempo para escribir las notas de este curso!