Lo considera

Question

$\displaystyle I_n=\int_0^\infty2^{-x}(1+x)^ndx$

De integral por partes, puedo conseguir $I_n=\frac{1}{\ln 2}+\frac{n}{\ln 2}I_{n-1}$ donde $I_0=\frac{1}{\ln 2}$. ¿Cómo proceder para concluir una expresión explícita de $I_n=\sum\limits_{m=0}^n\cdots$? Gracias.

Answer 1

Iterar. Desde $I_n = \frac{1}{\ln 2}(1 + n I_{n-1})$, entonces el $I_{n-1} = \frac{1}{\ln 2}[1 + (n-1) I_{n-2}]$ y así. Repetir hasta $I_0$ producciones

$$ I_n = \frac{1}{\ln 2}(1 + n I_{n-1}) = \frac{1}{\ln 2}(1 + n[\frac{1}{\ln 2}[1 + (n-1) I_{n-2}]]) \\ = \text{...} = \frac{1}{\ln2} + \frac{n}{(\ln2)^2} + \frac{n(n-1)}{(\ln2)^3} + \frac{n(n-1)(n-2)}{(\ln2)^4} + \text{...} = \sum_{k=0}^n \frac{P(n,k)}{(\ln2)^{k+1}}$$

como Marvis encontrado usando la expansión Binomial (muy hábil) + enfoque de función de Gamma por encima.