Función generadora de la función divisor

Question

Hoy en MathWorld (ver eq. 17) corrí a través de la siguiente expresión, que da a una generación de función para la función de divisor $\sigma_k(n)$: $$\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_k (n) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k x^n}{1-x^n}. \tag{1}$$

(El divisor de la función $\sigma_k(n)$ está definido por $\sigma_k(n) = \sum_{d|n} d^k$.)

¿Cómo uno va sobre demostrando la Ecuación (1)?

(Para la referencia, me encontré con esta pensando en esta pregunta se pidió el día de hoy. La suma en la pregunta es un caso especial de la suma en el lado derecho de la Ecuación (1) anterior).

Answer 1

Cambiar el orden de adición, tenemos

$$\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{k}(n)x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}\sum_{d|n}d^{k}=\sum_{d=1}^{\infty}d^{k}\sum_{n:\ d|n}^{\infty}x^{n}.$$ From here, applying the formula for the geometric series, we find that the above equals $$\sum_{d=1}^{\infty}d^{k}\sum_{n=1}^{\infty}x^{nd}=\sum_{d=1}^{\infty}d^{k}\frac{x^{d}}{1-x^{d}}.$$

Una serie tal generación es conocida como una Serie de Lambert. El mismo argumento anterior demuestra que una función multiplicativa $f$ $f=1*g$ donde $*$ representa la convolución de Dirichlet, tenemos $$\sum_{n=1}^\infty f(n)x^n =\sum_{k=1}^\infty \frac{g(k)x^k}{1-x^k}.$ $