Taylor ' teorema s: $f'' + f = 0, f(0) = f'(0) = 0$.

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil encontrar una solución a este problema.

Supongamos que $f$ es dos veces diferenciable y que $f'' + f = 0$. Si $f(0) = f'(0) = 0$, el uso del teorema de Taylor para mostrar que $f = 0$.

La definición de Taylor teorema nos dieron utiliza el resto de Lagrange $f^{(n+1)}(c) \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$. Técnicamente no tenemos el uso del teorema de Taylor, pero mi profesor dijo que no sabe de alguna manera de hacerlo sin ella.

El evidente uso de Taylor teorema es que para todos los $x$ tenemos $f(x) = f''(c) \cdot x^2/2$ algunos $|c| < |x|$. Y, a continuación, esto significa $f(x) = -f(c) \cdot x^2/2$. Entonces no sé cómo proceder. No puedo pensar de una manera, excepto para mostrar que $f(x) \ne 0$ conduce a una contradicción. Pero ¿qué voy a contradecir? Aquí están algunas de las ideas prometedoras que he tenido que parece que no llevan a ninguna parte: (supongamos que WLOG que $x>0$ en el siguiente)

• Puedo construir una secuencia $(c_n)$ donde $f(x) = (-1)^n f(c_n)\cdot x^{2n}/(2n)!$ ya que es fácil demostrar que $f = -f'' = f^{(4)} = \cdots$. Así que tengo todos estos distinto de cero $f(c_n)$. Pero, ¿de dónde que me llevan?

• ¿Otra secuencia? Hay un $c_1$ tal que $0 < c_1 < x$$f(c_1) = -f(x) \cdot 2/x^2 \ne 0$. Luego hay un $c_2$$0<c_2<c_1$$f(c_2) = -f(c_1) \cdot 2/{c_1}^2 \ne 0$, y así sucesivamente. Esto nos lleva a otra secuencia $(c_n)$ con un valor distinto de cero de la imagen. Converge (ya que es estrictamente decreciente y acotada abajo por 0), pero no hace nada útil a suceder allí?

• Desde cada una de las $c_i$ son distintos, y $f(c_i)$ tiene signo opuesto a $f(c_{i-1})$ todos los $i$, con el IVT puedo mostrar que $f$ tiene una infinidad de ceros en el intervalo de $(0, x)$. No veo cómo esto puede ser manipulado a una contradicción, aunque.

¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Primero, vamos a trabajar en un intervalo de $[-m,m]$. Como $f$ es continua, existe $M>0$ $|f(t)|\leq M$ todos los $t\in[-m,m]$.

Ahora podemos escribir el título-$n$ expansión de Taylor: $$ f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)\frac{x^2}2+\cdots+f^{(n-1)}(0)\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+f^{(n)}(c)\,\frac{x^n}{n!}, $$ donde $c$ entre $0$$x$. La condición de $f''=-f$, junto con $f(0)=f'(0)=0$, garantiza que $f^{(k)}(0)=0$ todos los $k$. Entonces $$ f(x)=\frac{f^{n)}(c)}{n!}, $$ y así $$|f(x)|\leq\frac{M}{n!}.$$ Como podemos obtener esta estimación para todos los $n$, llegamos a la conclusión de que $f(x)=0$ todos los $x\in [-m,m]$. En cuanto a la elección de $m$ fue arbitraria, $f(x)=0$ todos los $x$.

Answer 2

Sugerencia: Creo que has deducido del ya que el polinomio de Taylor de grado $n$ $0$ $0$ cada $n$. Ahora deducir que en cualquier intervalo de $[0,a]$ tenemos un % constante $M$entonces que $|f^{(n)}(x)|\le M$ % todo $x$y % todos $n$. Ahora considere la fórmula del residuo para el error y que $n\to\infty$.

Answer 3

Si $f$ es dos veces diferenciable y $f+f''=0$, sigue que el $f\in C ^\infty$ y $f^{(k)}(0)=0$. Elegir $x\in \mathbb R$. Para todos los $n\in \mathbb N$, expandiendo alrededor cero, teorema de Taylor da $$f(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(tx)}{(n+1)!}x^{n+1}, \qquad t\in (0,1).$$ Let $M_i=\max _{u^2 \leq x^2} |f^{(i)}(u)|$ $0\leq i \leq 3$ y $M=\max \{M_i\}$. Then:$$|f(x)|\leq M \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$$ Letting $n\rightarrow\infty$, you get $|f (x) | $\leq 0.

Answer 4

Si no me equivoco groseramente, no necesitamos Teorema de Taylor. Se trata de una segunda ecuación diferencial de orden con coeficientes constantes. La solución es $c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)$. Las condiciones iniciales dan que $c_1 = c_2 = 0$. ¿Su profesor no sabe de una manera de solucionar esto sin el teorema de Taylor?