Me quedé con este problema, no sé cómo empezar con. Demostrar que los enteros positivos sólo que pueden dividir los números sucesivos de la forma $n^2+3$ 1 o 13.
Respuestas
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justartem
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13
Aplicamos el Algoritmo euclidiano en los polinomios:
$n^2+3,(n+1)^2+3$
Obtenemos:
$(n+1)^2+3=(n^2+3)+(2n+1)$
$2(n^2+3)=n(2n+1)+(-n+6)$
$2n+1=-2(-n+6)+13$
Desde aquí:
Si divide a $d$ $(n+1)^2+3$ y $(n^2+3)$ y $d$ $2n+1$ se divide.
Si divide a $d$ $n^2+3$ y $(2n+1)$ y $d$ $(-n+6)$ se divide.
Si divide a $d$ $2n+1$ y $-n+6$ y $d$ $13$ se divide.
Juntándolo todo tenemos que si divide a $d$ $n^2+3$ y $(n+1)^2+3$ y $d$ $13$ se divide.
geo
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545
Esta respuesta es esencialmente el mismo que el de la primera respuesta, por sueño, pero escrito de una forma diferente, que personalmente me parece más fácil de entender. (En esta respuesta, todas las variables de alcance a través de los enteros.)$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\op}[1]{\\ #1 \quad & \quad \unicode{x201c}} \newcommand{\hints}[1]{\mbox{#1} \\ \quad & \quad \phantom{\unicode{x201c}} } \newcommand{\hint}[1]{\mbox{#1} \unicode{x201d} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\ref}[1]{\text{(#1)}} \newcommand {\, a continuación,} {\Rightarrow} \newcommand{\cuando}{\Leftarrow} \newcommand{\verdadero}{\text{true}} \newcommand{\false}{\text{false}} \newcommand{\divide}{\mid} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert} $
El mecanismo que vamos a utilizar aquí es el paso básico de el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números: para cualquier $\;a,b,c,d\;$, $$ \tag{0} d \divide a \;\;\de la tierra\;\; d \divide b \;\;\equiv\;\; d \divide a \;\;\de la tierra\;\; d \divide a b + c\cdot un $$ where often $\;a<b\;$ and $\;c<0\;$. (Of course $\;\divide\;$ es el acrónimo de "divide". He escogido a fin de evitar confundir extra entre paréntesis por dar esta relación de menor precedencia de operadores aritméticos, pero una mayor precedencia que los operadores lógicos.)
Armado con esta, para cualquier $\;n,d\;$ donde $\;d\;$ es positivo, vamos a calcular cual $\;d\;$ satisfacer la indicada condición:
$$\calc d \divide n^2 + 3 \;\;\de la tierra\;\; d \divide a (n+1)^2 + 3 \op=\sugerencias {'Euclides paso': restar LHS de los HR, es decir, $\ref{0}$$\;c := -1\;$} \sugerencia{-- para deshacerse de la plaza en el lado derecho} d \divide n^2 + 3 \;\;\de la tierra\;\; d \divide ((n+1)^2 + 3) - (n^2 + 3) \op=\sugerencia{simplificar RHS} d \divide n^2 + 3 \;\;\de la tierra\;\; d \divide 2n+1 \op\\sugerencia{LHS: propiedad de $\;\divides\;$} d \divide 2(n^2 + 3) \;\;\la tierra\;\; d \divide 2n+1 \op=\sugerencias {'Euclides paso': restar $\;n\;$ veces RHS de la PREPA, es decir, $\ref{0}$$\;c := -n\;$} \sugerencia{-- para deshacerse de la plaza en el lado izquierdo} d \divide 2(n^2 + 3) - n(2n+1) \;\;\de la tierra\;\; d \divide 2n+1 \op=\sugerencia{simplificar LHS} d \divide 6 - n \;\;\de la tierra\;\; d \divide 2n+1 \op=\sugerencias {'Euclides paso': añadir 2 veces en el lado izquierdo a la IZQUIERDA, es decir, $\ref{0}$$\;c := 2\;$} \sugerencia{-- para deshacerse de la $\;n\;$ en el RHS} d \divide 6 - n \;\;\de la tierra\;\; d \divide (2n+1) + 2(6-n) \op=\sugerencia{simplificar RHS} d \divide 6 - n \;\;\de la tierra\;\; d \divide 13 \op\\sugerencia{lógica: debilitar} d \divide 13 \op=\sugerencia{13 es un número primo; $\;d\;$ es positivo} d = 1 \;\;\lor\;\; d = 13 \endcalc$$
Esto demuestra que en la mayoría de las $1$ $13$ satisface la condición.
Ataulfo
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3108
Que $p$ ser un primo tal que $p$ divide el GCD de $n^2+3$ y $(n+1)^2+3$.
Sigue $$2n+1=Np\iff n=\frac{Np-1}{2}$$ Hence $$\left(\frac{Np-1}{2}\right)^2+3=Rp\iff N^2p^2-2Np+1+12=4Rp$$ Consequently $p = 13 $, only possibility for primes $p $, the other factor being the trivial one $1$.
Debemos, por supuesto, vemos en el otro estado $(n+1)^2+3$ con el fin de verificar la compatibilidad. Da inmediatamente, $p|13$ también.
Un cálculo fácil da los números en cuestión: $$\color{red}{n=13N+6}$ $
