Cuál de los siguientes es (son) válido para la función entero $f$?

Question

Vamos , $f$ ser toda la función. Vamos, $g(z)=\overline{f(\bar z)}$. Vamos, $D=\{z:Im(z)=0\}\cup\{z:Im(z)=a\}$ algunos $a>0$. A continuación, las cuales son correctas ?

(A) Si $f(z)\in \mathbb R$ todos los $z\in \mathbb R$$f=g$.

(B) Si $f(z)\in \mathbb R$ todos los $z\in D$ $f(z+ia)=f(z-ia)$ todos los $z\in \mathbb C$.

(C) Si $f(z)\in \mathbb R$ todos los $z\in D$ $f(z+2ia)=f(z)$ todos los $z\in \mathbb C$.

(D) Si $f(z)\in \mathbb R$ todos los $z\in D$ $f(z+ia)=f(z)$ todos los $z\in \mathbb C$.

¿La opción (A) siga de Schwartz reflexión Principio ? ¿Cuál es acerca de las otras opciones?

No puedo entender cómo proceder....

ayuda por favor...

Answer 1

Para (A) como mrf sugerido, $f(z)$ es real en el eje real yo.e $Im(z) = 0$ le dará $f(z) = g(z)$ sobre el eje real. Como la puesta a cero de la función completa $f-g$, tiene un punto límite en $\mathbb{C}$, lo $f-g = 0$ i.e $f=g$.

Para (B) en Primer lugar tenga en cuenta que el uso de (a) la parte que nos $f(z) = g(z)$ todos los $z$$\mathbb{C}$. Deje $x$ ser un arbitrarias número real, a continuación, tenga en cuenta que $g(x-ia)= \overline {f(x+ia)} = f(x+ia)$. También tenemos $f=g$, por lo tanto, tenemos $f(x-ia) = g(x-ia)=f(x+ia)$ y esto vale para todos los $x$$\mathbb{R}$.

Ahora volver a considerar la totalidad de la función de $h(z) =f(z+ia)-f(z-ia)$. Tenga en cuenta que el eje real es un subconjunto de la puesta a cero de $h$. Por lo tanto la puesta a cero de $h$ tiene un punto límite en $\mathbb{C}$. Por lo $h(z)=0$ todos los $z $$\mathbb{C}$.

Para (C), Usando (B) tenemos $f(z+ia)= f(z-ia)$ todos los $z$$\mathbb{C}$. Ahora tome $z =w+ia$ donde $w$ es arbitraria número complejo. Entonces tenemos $f(w+2ia) = f(w)$ todos los $w$$\mathbb{C}$.

Para (D) es falsa. Tome $a = \pi$ y asumir la función $f(z) = exp (z)$. Tenga en cuenta que $f(z)$ es real cuando $z$ es en determinado $D$. Pero $f(z+i\pi) = -exp(z) \neq f(z)$ todos los $z$$\mathbb{C}$.

Answer 2

En primer lugar, mostrar que $g$ es todo si no has hecho ya.

Para (A): suponiendo que $f(z)$ es real cuando es $z$, se deduce que $f(z) = g(z)$ en el eje real. El principio de identidad muestra que $f=g$ por todas partes.

Voy a dejar (cuestiones para usted. Utilice ideas similares para investigarlos.