a) Regular implica normal.
Bueno, tal vez eso es demasiado alta tecnología. Si $f=g+hy$ se encuentra en la integral de cierre, entonces se satisface el polinomio cuadrático $(z-g)^2 - h^2(x^3-x)$. Si los coeficientes son polinomios (que deben ser, por el Lema de Gauss,), a continuación, $g$ es un polinomio, y $h^2 (x^3-x)$ es un polinomio. Pero $x^3-x$ es cuadrado-libre (aquí usamos que la característica no es $2$), por lo $h$ es un polinomio y $f\in R$.
b) Desde $y^2,x^3 \in P^2$, es sencillo que $x\in P^2$$P^2 = (x)$.
c) (Nota: es suficiente para abordar este problema para $R\otimes_k \overline{k}$, por lo que asumimos que el $k$ es algebraicamente cerrado para evitar algunos tecnicismos.)
Primero de todo, $X=\operatorname{Spec}k[x,y]/(y^2-x^3+x)$ es un subconjunto abierto de una curva elíptica $\overline{X} = Y\cup \{\infty\}$. Esta es una observación importante, porque implica que $R=k[x,y]/(y^2-x^3+x)$ no tiene ningún director de primer ideales de ningún tipo (excepto, por supuesto, para $(0)$).
Vamos a demonstate este, matemático real de estilo, observando el comportamiento global de un hipotético generador de $P$. Si $P=(f)$ que es lo principal, a continuación, $f$ se extiende a una función racional en $\overline{X}$ con un simple poste de $\infty$. Por lo tanto, $1/f$ no es una constante de la función racional en $\overline{X}$ con sólo un simple poste de $P$. Esto implica que $l(P) \geq 2$.
Aquí $l(P)$ es la abreviatura de la dimensión del espacio de funciones racionales en $\overline{X}$ que tienen en el peor de los casos un simple poste de $P$, y son regulares en otros lugares. En general, $l(D)$ está definido por $D$ un divisor de Weil, es decir, una formal suma de puntos. Por ejemplo, $l(P+2Q-3R)$ cuenta el número de linealmente independientes de las funciones que debe tener un triple cero en $R$, y se les permite tener un polo de orden $1$$P$, e $2$$Q$. La suma de los coeficientes de $D$ se llama su grado.
Vamos a calcular el $l(P)$ utilizando exactamente la de Riemann-Roch teorema, que dice que, para cualquier divisor de Weil $D$, $l(D)-l(K-D) = \operatorname{deg}{D} + 1 - g$, donde $g$ es el género de $\overline{X}$, e $K$ es el divisor asociado a cualquier forma diferenciada en $\overline{X}$. Para una curva elíptica, debemos tener $K=0$$g=1$, por lo que esta ecuación toma la forma simple $l(D)-l(-D) = \operatorname{deg}{D}$.
Nos pusimos $D=P$. Desde $\operatorname{deg}{P} = 1$, e $l(-P)=0$ (de hecho, $l(-D)=0$ para cualquier divisor de grado positivo), llegamos a la conclusión de que $l(P) = 1$. Ya anteriormente se encontró que el $l(P)\geq 2$ para cualquier director de ideal maximal de a $X$ (de hecho, la prueba de que funciona para cualquier curva proyectiva con un único punto eliminado), tenemos nuestra contradicción.
(La de arriba tiene un bonito, hormigón interpretación: cuando se tira lejos de la maquinaria, el argumento es que, si $P=(f)$, entonces el mapa de $k[x]\to R$ envío de $x$ $f$es un isomorfismo. Utilizamos la información básica acerca de los divisores para evitar algunos de los difíciles cálculos y género para mostrar que $R$ no puede ser un polinomio de anillo.)
