Deje $E, E'$ ser vector de paquetes a través de una compacta CW base con la debida homotopy equivalente total de espacios; decir $f: E \to E'$ es un buen homotopy de equivalencia. Supongamos también que ambos están equipados con una métrica de Riemann para la conveniencia. A continuación, la unidad de la esfera de los paquetes son homotopy equivalente.
Porque el cero de la sección es compacta, $f^{-1}(0_{E'})$ es compacto, y por lo tanto, contenida en uno de los disco de paquetes de $E_{\leq r} = \{v \in E \mid \|v\| \leq r\}$. Así el mapa de la $2r$-esfera $E_{2r} = \{v \in E \mid \|v\| = 2r\}$ $E'$echa de menos la sección cero, y dividiendo por las normas adecuadamente obtenemos un mapa de $f_{2r}: E_1 \to E'_1$. Yo reclamo de este mapa es una homotopy de equivalencia; porque una esfera paquete de más de un CW base es de nuevo un CW complejo, basta para mostrar que induce un isomorfismo en homotopy grupos. Tenga en cuenta que debido a $f$ es un buen homotopy de equivalencia, que se induce un bijection en la asignación de espacios de $[X,E] \to [X,E']$ de la adecuada homotopy clases de adecuado de los mapas. Aplicar esto a $X = S^k \times [1,\infty)$. Dado un mapa de $g: S^k \to E'_1$, ampliarlo a un mapa $g(x,t) = tg(x)$, $S^k \times [1,\infty) \to E'_{\geq 1}$; hay, por tanto, asociado a un adecuado mapa de $g': S^k \times [1,\infty) \to E_{\geq 1}$. Por lo suficientemente grande $t$, $f(g'(x,t))$ nunca es cero. En particular, esto implica que el mapa de $f_c$ anterior es surjective en homotopy grupos. Un argumento similar muestra de inyectividad en homotopy grupos.
Hay un parcial contrario a esto: si hay un homotopy la equivalencia entre la unidad de la esfera de los fardos $E_1 \to E'_1$ que conserva, hasta homotopy, la proyección a la base, a continuación, $E$ $E'$ son adecuados homotopy equivalente. De esta manera se sigue simplemente mostrando que la asignación de los conos de $E_1 \to B$ $E'_1 \to B'$ son homotopy equivalente en relación con el mapa $E_1 \to E'_1$, obteniendo así un homotopy equivalencia entre el $E_{\leq 1} \to E'_{\leq 1}$ que conserva la unidad de las esferas. A continuación, extender a todo el vector paquete por la multiplicación escalar. Pero no hay ninguna razón de que el propio homotopy equivalencia anterior debe preservar la proyección de la base, por lo que estos son, obviamente, no equivalente.
Lo que estamos pidiendo es para ejemplos de no-homeomórficos vector de paquetes cuya forma compacta compatible cohomology anillos son isomorfos. (En realidad se le preguntó por el más débil condición de que el auto-intersección de la sección cero, también conocido como la copa del cuadrado de la clase fundamental de la sección cero, es cero.) Podemos aplicar la condición anterior. El ejemplo más simple que puedo dar son los dos $S^3$-paquetes de más de $S^2$, determinado por los dos homotopy clases en $\pi_1(SO(3))$; uno es trivial, y el otro no. Para probar que no son homotopy equivalente, voy a hacer un trabajo con sus Stiefel-Whitney clases. Si $E_1$ es un haz de fibras, vamos a $T_vE$ ser la tangente vertical de haz (las tangentes a las fibras); a continuación, hay un no-canónica isomorfismo $TE_1 \cong T_vE_1 \oplus \pi^*(TB)$. Así tenemos una igualdad total de Stiefel-Whitney clases de $w(TE_1) = w(T_vE_1) \pi^*(w(TB))$. En el caso de que $E_1$ es lineal en el ámbito de haz (también conocido como la unidad de paquete de algún vector paquete de $E$), como estos, podemos calcular el $T_vE_1$ muy fácilmente. $T_vE$ es canónicamente isomorfo a $\pi^*E$; a continuación,$T_vE_1 \oplus N_vE_1 = T_vE$, y el normal paquete de $E_1$ es canónicamente trivial. Por lo $w(T_vE_1) = w(T_vE) = pi^*(w(E))$. Por lo tanto $w(TE_1) = \pi^*(w(E)w(TB))$.
Ahora vamos a $E$ ser un rango de $k$ vector paquete de más de una esfera $S^n$ con un valor distinto de cero Stiefel-Whitney clase $w_n$. A continuación, $E_1$ no es homotopy equivalente a $S^n \times S^k$; el cálculo anterior muestra que el $w(E_1)$ es distinto de cero, pero es para $S^n \times S^k$, que es estable parallelizable, y Stiefel-Whitney clases son una homotopy invariante. Por lo tanto el total de los espacios de los dos $n$-plano de paquetes de más de $S^2$ (los cuales son determinados por su $w_2$) no son adecuados homotopy equivalente, y de manera similar se obtiene ejemplos sobre muchas otras esferas.
(El ejemplo más simple, entonces, son los dos 3-esfera paquetes de más de $S^2$.)
No tengo absolutamente ninguna idea de si o no $TS^5$ $S^5 \times \Bbb R^5$ son adecuados homotopy equivalente. Traté de llevar a cabo el cálculo, pero se topó con problemas; puede ir de cualquier manera. Yo sería unsurprised si había algo de $n \neq 1, 3, 7$ tal que $TS^n$ es adecuado homotopy equivalente a $S^n \times \Bbb R^n$. Quizás $n=11$ sería un buen lugar para violín.
