¿Hay una partición de un cuadrado abierto en segmentos cerrados (no reducido a un punto)?

Question

Permita que$C$ sea un cuadrado abierto (por ejemplo,$]0, 1[ \times ]0, 1[$) del plano$\mathbf R^2$. ¿Hay una partición de$C$ en segmentos cerrados (no se reduce a un punto)?

Answer 1

Empezar por cubrir el plano con exclusivamente horizontal y vertical cerrado de los segmentos de línea. Inicio cubriendo la unidad cerrada de la plaza:

• Línea Horizontal segmentos de$(0,y)$$(1,y)$$y\in[0,1]$.

Ahora, cuando usted tiene la plaza cerrada $[0,A]^2$ cubierto, el doble del tamaño de la cubierta de la región:

• Vertical de los segmentos de línea de$(x,0)$$(x,A)$$x\in (A,2A]$;
• Línea Horizontal segmentos de$(0,y)$$(2A,y)$$y \in (A,2A]$.

Repita esto para cubrir el plano. Ahora usted puede cubrir la plaza abierta así, simplemente mediante la asignación de $(x,y)\rightarrow \left(f(x), f(y)\right)$, donde $f$ se lleva muy bien $\mathbb{R}$$(0,1)$; por ejemplo, $f(z)=1/(1+e^{-z})$ obras.