Generando triples pitagóricos de otros a través de disecciones

Question

Roger Alperin del papel Modular Árbol de Pitágoras muestra que es posible generar ternas Pitagóricas de los demás. Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo rectángulo $a^2 + b^2 = c^2$, entonces podemos derivar otra utilizando la fórmula:

$$\begin{array}{ccrcrcc} a &\mapsto & a &+& 2b &+& 2c \\ b &\mapsto & 2a &+& b &+& 2c \\ c &\mapsto & 2a &+& 2b & +& 3c \end{array}$$

Los otros dos matrices se puede encontrar en Wikipedia. Es allí cualquier manera de ilustrar cómo generar un número entero a la derecha-triángulo a partir de otra mediante una disección?

---

Otra posibilidad usos parametrización $(a,b,c) = (m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2)$. En este caso la sustitución anterior se reduce a:

$$\begin{array}{ccrcrcc} m &\mapsto & m &+& n \\ n &\mapsto & &+& n \end{array}$$

lo cual es un elemento de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$. ¿Cómo podemos visualizar este cambio como una acción de los triángulos en el plano?

Answer 1

Las soluciones Pythagorean triplican:$X^2+Y^2=Z^2$

También puede enviar a través de otras tripletas pitagóricas:$a^2+b^2=c^2$

Aquí hay alguna fórmula, aunque pueden escribir una cantidad infinita. Todo es una cuestión de gusto.

$a=p^2-4ps+3s^2$

$b=2s(2s-p)$

$c=p^2-4ps+5s^2$

O estos:

$a=2s(s-p)$

$b=p(p-2s)$

$c=p^2-2ps+2s^2$

Entonces, usar estos triples puede llegar a otros.

$X=ak^2-at^2$

$Y=bk^2-2ckt+bt^2$

$Z=ck^2-2bkt+ct^2$

$p,s,k,t$ - lo que algunos enteros.