Formal (serie / suma / derivada ...)

Question

He encontrado una gran cantidad de casos en los que se usan términos como suma formal en lugar de simplemente suma, de manera similar en el caso de derivadas / serie infinita / serie de potencia.

Como entiendo en el caso de series / suma, el término formal se usa cuando la noción de convergencia no es clara.

Agradecería cualquier definición o explicación precisa de dónde se usa formal. Tampoco puedo entender cómo se relaciona con los derivados. Además, ¿dónde más se usa "formal"?

Answer 1

Una formal suma es donde vamos a escribir algo con un $+$ símbolo, o de otra forma utilizado normalmente por las sumas que, aún cuando no puede ser no real de la operación definida.

Un ejemplo de ello. Alguien puede tener definido un quaternion como formal de la suma de un escalar y un (3 dimensiones), vector, por ejemplo. Antes de esta definición, al menos en ese libro, no había definido la "suma" de un escalar más de un vector.

A partir de esta definición, nuestro autor nos puede decir lo que significa para dos cuaterniones a ser igual $$ \lambda + \mathbf{x} = \mu + \mathbf{y} \quad \Longleftrightarrow \quad\text{??} $$ cómo agregar quaterntions $$ (\lambda + \mathbf{x}) + (\mu + \mathbf{y}) = \text{??} $$ cómo multiplicar quaterntions $$ (\lambda + \mathbf{x}) \cdot (\mu + \mathbf{y}) = \text{??} $$ y así sucesivamente.

Answer 2

La serie de poder formal sobre un anillo conmutativo son básicamente las secuencias en ese anillo, con la suma y la multiplicación definidas para que coincidan. Entonces$\sum_{n\in\Bbb N}a_n x^n$ es básicamente equivalente a la secuencia$(a_n)_{n\in \Bbb N}$, pero hay reglas para sumar, restar y multiplicar lo anterior:$$\sum_{n\in \Bbb N}a_n x^n + \sum_{n\in N}b_n x^n := \sum_{n\in\Bbb N}(a_n+b_n)x^n,$ $$$-\sum_{n\in\Bbb N}a_n x^n = \sum_{n\in\Bbb N}(-a_n)x^n,$ $ y$$\Bigl(\sum_{n\in \Bbb N}a_nx^n\Bigr)\Bigl(\sum_{m\in\Bbb N}b_nx^m\Bigr):=\sum_{n\in \Bbb N}\Bigl(\sum_{j+k=n}a_jb_k\Bigr)x^n.$ps