Conjunto de subconjuntos finitos de un conjunto infinito (Enderton, Capítulo 6.32)

Question

Ejercicio 6.32 (Enderton, Elementos de la Teoría de conjuntos) (respuesta a la misma pregunta) estados:

Deje $\mathsf{F}(A)$ ser el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $A$. Mostrar que si $A$ es infinito,$A \approx \mathsf{F}(A)$.

Para los fines de este ejercicio, yo podría utilizar el enfoque citado. Sin embargo, quiero saber lo que está mal con el intento de (2) que hice. Voy a describir de manera informal.

1. Si $|A| = \aleph_0$ luego de la inyección de $f(x) = \{x\} : A \rightarrow \mathsf{F}(A)$ da $|A| \leq |\mathsf{F}(A)|$. Por el contrario, la bijections $f : \omega \rightarrow A$ $g : \bigcup_{i \in \omega} \omega^i \rightarrow \omega$ (es decir, un tupling función) puede estar compuesto para obtener una inyección de $f : \mathsf{F}(A) \rightarrow A$. Por lo $|\mathsf{F}(A)| \leq |A|$. Por el Schröder-Bernstein, Teorema de, $|A| = |\mathsf{F}(A)|$$A \approx \mathsf{F}(A)$.
2. Si no, yo quiero hacer lo siguiente: (i) definir un conjunto $H$ de bijections de los subconjuntos de a $\mathsf{F}(A)$ a los subconjuntos de a $A$; (ii) demuestre que $H$ es cerrado bajo la unión de las cadenas ($\bigcup B : \mathsf{F}(A) \rightarrow A$ es bijective donde $B$ es una cadena en la $H$); (iii) emplear el Lema de Zorn para obtener un máximo de la función $f \in H$; (iv) a la conclusión de que $\mathsf{F}(A) \approx A$. Este enfoque sería muy fácil, porque yo podría apelar a antes de teoremas respecto a los sindicatos de las funciones y así sucesivamente.

Tras el paso (iii), necesito mostrar que $dom(f) = \mathsf{F}(A)$$ran(f) = \mathsf{F}(A)$. Así que supongo que no y obtener una contradicción debido a $f$'s maximality en $H$. Sin embargo, esto es algo problemático. Por qué? Porque en cada uno de los intentos que he hecho, puedo reemplazar el "finito powerset" operador por el powerset operador en todo y obtener una declaración falsa. Así que me estoy perdiendo algo acerca de $\mathsf{F}(A)$. No estoy seguro de lo que esto es.

Answer 1

En primer lugar, para el caso contable, uno no necesita una gran molestia, simplemente porque hay un pedido muy bueno de$Fin(\omega)$, a saber:

ps

En cuanto a las cardinalidades superiores:

Por inducción tenemos$$\{x_1,\ldots,x_n\}\mapsto\sum_{i=1}^n 2^{x_i}$ para todos$\lambda^n=\lambda$, y por lo tanto$n<\omega$ y claramente cada subconjunto finito de$\lambda\le\lambda\cup\lambda^2\cup\ldots \le\lambda\times\lambda = \lambda$ se puede encontrar dentro de$\lambda$%.

Tenga en cuenta, sin embargo, esto requiere el axioma de elección, y no funcionará sin él, ya que no siempre es$\lambda^n$ y mucho menos$\lambda+\lambda=\lambda$.

Answer 2

El maximality de $f$ no es suficiente para demostrar que el dominio de la función es $F(A)$. Esto es suficiente para decir que sólo el hecho de que el dominio es $F(A)$ o de la gama es $A$.

Esto es porque si usted puede encontrar $x\in A$ $y\in F(A)$ tal que $y\notin dom(f)$$x\notin ran(f)$, entonces usted puede extender $f$$f\cup\{(y,x)\}$. Pero puede ser posible que el dominio de esta máxima función es un subconjunto de a$F(A)$, mientras que su rango es de $A$ y por lo tanto es imposible extender esta función dentro de $H$ desde que requieren las funciones a $1-1$.

Como Asaf señala el problema (suponiendo que la elección) es muy fácil. Usted acaba de observar que $\kappa\times\kappa=\kappa$ para todos los cardenales y por el uso que se puede conseguir que la $\kappa^n=\kappa$ $\aleph_0\times\kappa=\kappa$ que es suficiente para mostrar lo que usted desea.