intersección de todos los subgrupos de orden 9 en un grupo de orden 36 no es trivial

Question

Permita que$G$ sea un grupo de orden 36, demuestre que todos sus subgrupos de orden 9 se cruzan en un subgrupo no trivial.

He demostrado que se cruzan en un subgrupo, pero no puedo probar que contenga un elemento$a \not= e$, ¿alguien puede darme una prueba del hecho de que no es trivial?

Answer 1

Deje$G$ ser un grupo de orden$36$. Luego, según los teoremas de Sylow, la cantidad de subgrupos de orden$9$ es$1$ o$4$. Ahora, un grupo de orden$36$ debe tener un subgrupo normal$N$ de orden$3$ o$9$, consulte, por ejemplo, esta pregunta . Si$N$ tiene orden$9$, estamos en el primer caso. Si$N$ tiene orden$3$, tenemos 4 Sylow$3$ - subgrupos. Como todos son conjugados, y$N$ es normal,$N$ es su intersección.