Como regla general, cuando la tasa de fracaso$$\eta(t)=\frac{f(t)}{\int_t^\infty f(x)\,\text{d}x}=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\,\log \int_t^\infty f(x)\,\text{d}x$$we can formally derive$$\int_0^t\eta(x)\,\text{d}x=-\log \int_t^\infty f(x)\,\text{d}x$$since the value at $t=0$ is zero on both sides, and$$\exp\left\{-\int_0^t\eta(x)\,\text{d}x\right\}=1-\int_0^t f(x)\,\text{d}x$$which leads to the cdf$$F(t)=\int_0^t f(x)\,\text{d}x=1-\exp\left\{-\int_0^t\eta(x)\,\text{d}x\right\}$$From a simulation perspective, if we generate $U\sim\mathcal{U}(0,1)$, we have to solve $F(X)=U$, lo que significa
$$1-\exp\left\{-\int_0^X\eta(x)\,\text{d}x\right\}=U$$or$$\int_0^X\eta(x)\,\text{d}x=-\log(1-U)$$
Ahora, cuando $\eta(x)=\lambda_1(x)\mathbb{I}_{x\le t_0}+\lambda_2(x)\mathbb{I}_{x>t_0}$, esto significa que
$$F(x)=\casos{F_1(x) &\text{si }x<t_0\\
1-\{1-F_1(t_0)\}\dfrac{1-F_2(x)}{1-F_2(t_0)} &\text{else}}$$ where $F_1$ is the Gamma $G(\alpha_1,\beta_1)$ cdf and $F_2$ the Gamma $G(\alpha_2,\beta_2)$ cdf. Equivalentemente,
$$F(x)=\casos{F_1(t_0)\mathbb{P}(X_1,\le x|X_1\le t_0) &\text{si }x<t_0\\
F_1(t_0)+\{1-F_1(t_0)\}\mathbb{P}(X_2\le x|X_2\ge t_0) &\text{else}}$$where $X_1$ and $X_2$ denote Gamma $G(\alpha_1,\beta_1)$ and Gamma $G(\alpha_2,\beta_2)$ variables aleatorias.
Conclusión
Esta representación de la cdf, establece que la distribución de la tasa de falla$$\eta(x)=\lambda_1(x)\mathbb{I}_{x\le t_0}+\lambda_2(x)\mathbb{I}_{x>t_0}$$es un
la mezcla de una Gamma $G(\alpha_1,\beta_1)$ trunca a $(0,t_0)$ y de
una Gamma $G(\alpha_2,\beta_2)$ trunca a $(t_0,\infty)$ con pesas
$F_1(t_0)$ $(1-F_1(t_0))$.
En términos de azar de simulación de este medio
- elija la generación de la distribución Gamma $G(\alpha_1,\beta_1)$ trunca a $(0,t_0)$ con una probabilidad de $F_1(t_0)$ y la generación de la distribución Gamma $G(\alpha_2,\beta_2)$ trunca a $(t_0,\infty)$ con una probabilidad de $1-F_1(t_0)$
- Generar X de la recogió trunca distribución Gamma
