¿Cuándo son las intersecciones completas también las intersecciones completas locales?

Question

En primer lugar, recordemos algunas definiciones.

Deje $P=\mathbb P^d_k$ ser un espacio proyectivo sobre un campo $k$. Deje $X$ ser una subvariedad cerrada de $P$ de la dimensión de $r$. Decimos que $X$ es un completa intersección, si se define (como variedad) por $d-r$ homogénea polinomios $F_1,\dots,F_{d-r}$. Este concepto depende de la incrustación $X\rightarrow P$.

Deje $Y$ ser localmente Noetherian esquema. Deje $f:X\rightarrow Y$ ser un morfismos de finito tipo. Decimos que $f$ es un local completo la intersección de a $x$ si existe una vecindad $U$$x$, un esquema de $Z$, regular inmersión $i:U\rightarrow Z$, y una suave morfismos $g:Z\rightarrow Y$ tal que $f|_U=g\circ i.$

Me gustaría saber cuando la intersección es también un local completo de intersección, si entendemos que esto significa que la inclusión $X\rightarrow \mathbb P^n_k$ es un local completo intersección de morfismos. Sospecho que esto es cierto siempre.

Sabemos $\mathbb P^n_k$ siempre es localmente Noetherian, de modo que parte de la definición es satisfecho. Creo que sólo puede tomar $Z=\mathbb P^n_k$$U=X$, ya que creo que la inyección canónica siempre será regular. No sé cómo probar esto, sin embargo. Esto significaría $g$ tendría que ser la identidad. Parece que este no es suave para no liso variedades.

Estos pensamientos me llevan a las siguientes preguntas.

$1.$ Si $X$ es una completa intersección, ¿cómo podemos demostrar que la inyección de $X\rightarrow \mathbb P^n_k$ es regular? Sé que quiero probar el kernel del mapa en los tallos es generado por una secuencia regular, pero no sé cómo llevar esto a cabo.

$2.$ Se completa intersecciones siempre local completar las intersecciones? Si no, ¿qué hipótesis se debe colocar en $X$, de modo que esto es cierto? Con la elección de $X$ $Z$ por encima, esto se reduce a pedir al $g$ es suave.

(Me doy cuenta de que esto es bastante elemental pregunta, pero quiero estar totalmente seguro acerca de los detalles.)

Answer 1

Su conjetura es correcta.

En primer lugar, la noción de suave para un morfismos es intuitivamente una propiedad, acerca de sus fibras. El mapa de identidad de un esquema es siempre suave.

Regular la inmersión significa que en cada punto de $X$, hay un afín barrio donde se corta por una secuencia regular. Si $X \subset P^n$ se corta por $d-r$ polinomios como usted dice, entonces usted puede simplemente tomar las restricciones de los polinomios para que se abra y que será una secuencia regular: desde el conjunto abierto $U$ contiene un punto de $X$, la dimensión de la $U \cap X$ es la misma que la dimensión de $X$, y una secuencia de longitud $d-r$ es regular si y sólo si el cero esquema que se corta es de codimension $d-r$ (esto es una propiedad de Cohen-Macaulay anillos, de los cuales el anillo de coordenadas de un suave afín conjunto abierto en el espacio proyectivo es un caso especial).

Así que en términos de la generalización, por encima de todo estaría bien, si usted sustituye proyectiva espacio con cualquier Cohen-Macaulay esquema (digamos conectado para evitar tecnicismos).