Encontrar la distancia más corta entre un punto y una superficie

Question

Considera la superficie$S$ (en$\mathbb R^3$) dada por la ecuación$z=f(x,y)=\frac32(x^2+y^2)$. ¿Cómo puedo encontrar la distancia más corta desde un punto$p=(a,b,c)$ en$S$ hasta el punto$(0,0,1)$.

Esto es lo que he hecho: defina$d(a,b,c)=a^2+b^2+(c-1)^2$, para todos los puntos$p=(a,b,c)\in S$. Entonces$\sqrt d$ es la distancia desde$S$ a$(0,0,1)$. Creo que el método de multiplicadores de Lagrange es la forma más fácil de resolver mi pregunta, pero ¿cómo puedo encontrar la función de Lagrange? ¿O hay una manera más fácil de encontrar la distancia más corta?

Answer 1

Creo que el método de los multiplicadores de Lagrange es la manera más fácil resolver mi pregunta, pero ¿cómo puedo encontrar la función de Lagrange?

Como se muestra por otras respuestas y en la nota 1, hay maneras más fáciles para encontrar la distancia más corta, pero aquí es una solución detallada utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. Usted necesita encontrar el mínimo de la función de distancia

$$\begin{equation} \sqrt{d(x,y,z)}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}} \tag{1a} \end{equation}$$

sujeto a la restricción dada por la superficie de la ecuación de $z=f(x,y)=\frac32(x^2+y^2)$ $$\begin{equation} g(x,y,z)=z-\frac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) =0. \tag{2} \end{equation}$$ Desde $\sqrt{d(x,y,z)}$ aumenta con la $d(x,y,z)$ puede simplificar el los cálculos si usted encuentra el mínimo de $$\begin{equation} d(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \tag{1b} \end{equation}$$ sujeto a la misma restricción $(2)$. La función de Lagrange es entonces definido por $$\begin{eqnarray} L\left( x,y,z,\lambda \right) &=&d(x,y,z)+\lambda g(x,y,z) \\ L\left( x,y,z,\lambda \right) &=&x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}+\lambda \left( z- \frac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) \right), \tag{3} \end{eqnarray}$$ donde $\lambda $ es el multiplicador de Lagrange. Mediante este método, usted necesita para resolver el siguiente sistema de $$\begin{equation} \left\{ \frac{\partial L}{\partial x}=0,\frac{\partial L}{\partial y}=0, \frac{\partial L}{\partial z}=0,\frac{\partial L}{\partial \lambda } =0,\right. \tag{4} \end{equation}$$ que se traduce en

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{c} 2x+3\lambda x=0 \\ 2y+3\lambda y=0 \\ 2z-2-\lambda =0 \\ -z+\frac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) =0 \end{array} \right. &\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{c} x=0\vee 2+3\lambda =0 \\ y=0\vee 2+3\lambda =0 \\ 2z-2-\lambda =0 \\ -z+\frac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) =0 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{c} x=0 \\ y=0 \\ \lambda =2 \\ z=0 \end{array} \right. \v \left\{ \begin{array}{c} \lambda =-2/3 \\ z=2/3 \\ x^{2}+y^{2}=4/9 \end{array} \right. \etiqueta{5} \end{eqnarray}$$

Para $x=y=x=0$ obtenemos $\sqrt{d(0,0,0)}=1$. Y para $x^2+y^2=4/9,z=2/3$ podemos obtener la distancia mínima sujeta a las condiciones dadas $$\begin{equation} \underset{g(x,y,z)=0}\min \sqrt{d(x,y,z)}=\sqrt{\frac{4}{9}+(\frac{2}{3}-1)^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{5}. \tag{6} \end{equation}$$

Se consigue en la intersección de la superficie $z=\frac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) $ with the vertical cylinder $x^{2}+y^{2}=\frac{4}{9}$ or equivalently with the horizontal plane $z=\frac{2}{3}$.

$$\text{Avión }z=\frac{2}{3} \text{(azul) y de la superficie }z=\frac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) $$

Notas.

1. Como la solución sólo depende de la suma de $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ tan solo pudiéramos encontrar $$\begin{equation} \min d(r)=r^{2}+(\frac{3}{2}r^{2}-1)^{2}. \tag{7} \end{equation}$$
2. La superficie de $z=\frac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) $ is a surface of revolution around the $z$ eje.

Answer 2

Deje$q=(a,b,c)$ ser uno de los más cercanos a$p$ punto de$S$. Como$q\in S$ tenemos $$ c = \ frac {3} {2} (a ^ 2 + b ^ 2) \ tag {1} $$ Por otro lado, el vector$pq=(a,b,c-1)$ es ortogonal a $S$ (porque$q$ es lo más cercano a$p$ punto de$S$), por lo tanto$pq$ es colineal a la normal$n$ a la superficie$S$ en el punto $q$. Esta normalidad es fácilmente computable $$ n = (- 3a, -3b, 1) $$ Dado que$pq$ y$n$ son vectores colineales $$ \ frac {-3a} {a} = \ frac { -3b} {b} = \ frac {1} {c-1} \ tag {2} $$ El resto es claro.

Answer 3

Aquí hay otro enfoque. La distancia entre la superficie y el punto se puede expresar únicamente en términos de$r=\sqrt{x^2+y^2}$,$$d(r) = \sqrt{1-2 r^2+\frac{9}{4} r^4}.$ $ Extremizing$d(r)$ con respecto a$r$ que encontramos$$r\left(r^2-\frac{4}{9}\right) = 0,$ $ $r=0$ o$r=2/3$. Pero y $d(0) = 1$. Por lo tanto, la distancia más corta entre el punto y la superficie es$d(2/3) = \sqrt{5}/3$. Esta es la distancia entre el punto y el círculo$\sqrt{5}/3$, donde$(x,y,\frac{3}{2}r^2) = (x,y,2/3)$.

Answer 4

Lagrangian es$L(x,y,z,\lambda)=d(x,y,z)+\lambda(z-\frac32(x^2+y^2))$. Calcule las derivadas parciales de$L$ con respecto a$x,y,z$ y$\lambda$. Establecer todas las derivadas parciales igual a$0$ da$x=y=0, z=\frac32(x^2+y^2)$ y$\lambda=\frac23$. Esto le da puntos críticos$(0,0,0)$ y$(0,0,\frac23)$. Al conectar estos puntos en$d$, se obtiene la distancia mínima desde un punto en$S$ a$(0,0,1)$.

Answer 5

Deje$d = a^2 + b^2$ y,

ps

Por lo tanto, establecer$$f(d) = a^2 + b^2 + (c-1)^2 = d + \left ( \frac{3}{2}d -1 \right )^2.$ nos da el punto crítico$f'(d) = (9/2)d-2 = 0$ y entonces,$d^* = 4/9$ $

Por lo tanto, la distancia que está buscando es$$f(d^*) = \frac{5}{9}.$ $