Mostrar las matrices de transformación de Lorentz Tener un inverso

Question

Supongamos que las transformaciones de Lorentz obedecen a la relación$$g_{uv}\Lambda^u_{p}\Lambda^v_\sigma = g_{p\sigma},$$ where $ g_ {uv} $ es el tensor métrico de la relatividad especial.

¿Cómo puede uno demostrar, bajo esa suposición, que la matriz de Lorentz$\Lambda^a_b$ tiene una inversa?

Answer 1

He encontrado la siguiente prueba:

Comience con la relación,

$g_{vu}\Lambda^u_{p}\Lambda^v_\sigma = g_{p\sigma}$

Que es lo mismo que,

$\Lambda_{pv}\Lambda^v_\sigma = g_{p\sigma}$

Ahora multiplica los dos lados de la ecuación por$g^{ap}$ para ceder,

$g^{ap}\Lambda_{pv}\Lambda^v_\sigma = g^{ap}g_{p\sigma}$

Esto simplifica a:

$\Lambda^a_{v}\Lambda^v_\sigma = \delta^a_\sigma$

Además, sabemos que

$(\Lambda_v^a)^{-1}\Lambda^v_\sigma = \delta^a_\sigma$ Por definición de inverso.

Por lo tanto, $(\Lambda_v^a)^{-1} = \Lambda^a_{v}$

Answer 2

A partir de $$ g_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma = g_{\rho\sigma} $$ tenemos un contrato con $g^{\sigma\tau}$ $$ g_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma g^{\sigma\tau} = g_{\rho\sigma} g^{\sigma\tau} = \delta_\rho^\tau $$ y cambiar el orden de los factores $$ g_{\mu\nu} g^{\sigma\tau} \Lambda^\nu{}_\sigma \cdot \Lambda^\mu{}_\rho = \delta_\rho^\tau $$ lo que muestra que $\Lambda$ ha dejado inversa y por lo tanto es inyectiva.

Como $\Lambda$ es un endomorfismo, esto es suficiente para mostrar que es invertible y tenemos $$ (\Lambda^{-1})^\tau{}_\mu = g_{\mu\nu} g^{\sigma\tau} \Lambda^\nu{}_\sigma = \Lambda_\mu{}^\tau $$

Answer 3

Usted puede ordenar las matrices como este: $$ \Lambda_\rho^\mu g_{\mu\nu} \Lambda^\nu_\sigma = g_{\rho\sigma} $$ Supongo que todas las cartas deben haber sido griego. Se llaman mu, nu, rho, sigma, bueno aprender de ellos.

En mi formulario, uno puede ver $\mu$ como la suma por encima del índice en el primer producto en el lado izquierdo y $\nu$ como la suma por encima del índice en el segundo producto. Para hacer un convenio para una matriz de $\Lambda$, de modo que sus componentes se $\Lambda^\mu_\rho$ donde $\rho$ es la fila y $\mu$ es la columna, la ecuación anterior es la ecuación de matriz $$ \Lambda \cdot g \cdot \Lambda^T = g $$ donde $T$ significa que la transposición. La matriz en el lado derecho es nonsingular, es decir, tiene un determinante distinto de cero, de modo que los factores en el lado izquierdo debe tener también un determinante distinto de cero es decir, ser invertible.

Answer 4

$$g_{uv}\Lambda^u_{p}\Lambda^v_\sigma=g_{p\sigma} \Longleftrightarrow \Lambda^Tg\Lambda=g$ $ donde g es la matriz cuyas entradas son$g_{uv}$ $$ \ det (\ Lambda ^ Tg \ Lambda) = \ det (g) $$ $$ \ det (\ Lambda ^ T) \ det (g) \ det (\ Lambda) = \ det (g) $$ Obviamente,$\det(g)\neq0$ y$\det(\Lambda^T)=\det(\Lambda)$

Entonces$$\det(\Lambda)^2=1$ $

Como$\det(\Lambda)$ nunca desaparece, la matriz$\Lambda$ siempre es invertible.

Answer 5

Supongamos que la transformación de Lorentz$\Lambda$ no es invertible. Entonces, en particular, no es inyectiva y existe$0\not=u\in\ker\Lambda$.

El producto interno$g$ no es degenerado, así que hay un vector$v$ con$g(u,v)\not=0$ y terminamos con la contradicción $$ 0 \ no = g (u, v) = g (\ Lambda u , \ Lambda v) = g (0, \ Lambda v) = 0 $$ donde hemos usado el hecho de que las transformaciones de Lorentz dejan el producto interno invariante, que es exactamente la ecuación de partida.