$\langle \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \le_\text{lex} \rangle$ y$\langle \mathbb{R} \times \mathbb{Q}, \le_\text{lex} \rangle$ no son isomorfos

Question

Demuestre que los conjuntos ordenados$\langle \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \le_\text{lex} \rangle$ y$\langle \mathbb{R} \times \mathbb{Q}, \le_\text{lex} \rangle$ no son isomorfos ($\le_\text{lex}$ significa orden lexicográfico).

Sé que para demostrar que los conjuntos ordenados son isomorfos, haría una bijection monotónica, pero ¿cómo demostrar que no son isomorfos?

Answer 1

Cualquier intervalo abierto de$\mathcal{A}:=\langle \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \le_\text{lex} \rangle$ contiene incontables elementos, mientras que algunos intervalos abiertos de$\mathcal{B}:=\langle \mathbb{R} \times \mathbb{Q}, \le_\text{lex} \rangle$ solo tienen muchos elementos contables. Por lo tanto, no son isomorfos.

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Manera alternativa: dar topología de orden$\mathcal{A},\mathcal{B}$. Entonces, algún intervalo cerrado de$\mathcal{A}$ es compacto, mientras que ningún intervalo cerrado no de prueba de$\mathcal{B}$ es compacto. Como cualquier bijeje para preservar el orden es un homeomorfismo,$\mathcal{A}$ y$\mathcal{B}$ no tienen el mismo tipo de orden.