Escribir ecuaciones diferenciales para describir un sistema

Question

Tengo un sistema que modela la interacción entre un agente patógeno de la respuesta inmune. Si $P$ es el patógeno y $I$ representa la respuesta inmune, las ecuaciones diferenciales del sistema son:

$$ \begin{alignat*}{1} {\mathrm{d}P\over \mathrm{d}t} &= r_1P \left(1-{P\over k}\right)-d_1P \left({I\over I+\sigma}\right)\\ {\mathrm{d}I\over \mathrm{d}t} &= r_2I \left({P \over P+\sigma_2}\right)-d_2I \end{alignat*} $$

Esto es algo similar a este artículo.
$r_i$, $k$, y $\sigma$ son constantes. $\sigma$ representa el patógeno de la densidad cuando la respuesta inmune es en la mitad de su máxima capacidad. $d_i$ es la tasa de homicidio a través de la respuesta inmune.

Quiero cambiar estas ecuaciones, de modo que algunos de los patógenos que interactúan con la respuesta inmune no se matan. Así que quiero que sea de modelado tales que las células del sistema inmunitario se engullen a los patógenos, pero una parte de los patógenos pueden sobrevivir dentro de las células del sistema inmune y no se mató.

Si $P_S$ representa a la población que sobrevive y si $\alpha$ la proporción de los patógenos que interactúa con el sistema inmune y puede sobrevivir a matar, si yo cambio las ecuaciones de la siguiente manera será la correcta?

$$ \begin{alignat*}{1} {\mathrm{d}P\over \mathrm{d}t} &= r_1P\left(1-{P\over k}\right)-(1-\alpha)d_1P\left({I\over I+\sigma}\right)\\ {\mathrm{d}I\over \mathrm{d}t} &= r_2I\left({P \over P+\sigma_2}\right)-d_2I \\ {\mathrm{d}P_s\over \mathrm{d}t} &= \alpha d_1 P\left({I\over I+\sigma}\right) \end{alignat*} $$

Pero no estoy seguro de si debo usar la tasa de mortalidad $d_1$ de la población sobreviviente $P_s$?

O hay alguna otra forma de demostrar que una proporción de los patógenos que interactúan con la respuesta inmune a moverse en un compartimento diferente que incluye sobrevivir patógeno?

Answer 1

1. $\sigma$ es la densidad de las células inmunes, no patógenos, en el que la respuesta inmune se encuentra en la mitad de su capacidad máxima.
2. Usted puede considerar la posibilidad de $d_1$ como la tasa a la cual las células del patógeno son "absorbidos" por células inmunes. Todas estas células desaparecen de la población original y, por lo tanto, la primera ecuación se mantienen sin cambios: $$\dot{P}=r_1P(1−\frac{P}{k})−d_1P(\frac{I}{I+σ})$$
3. A continuación, divide la absorción de los agentes patógenos en dos grupos: los que sobrevivieron y no sobrevivió. El sobrevivido son descritos por $$\dot{P}_s=\alpha d_1 P\frac{I}{I+\sigma}$$ and the not survived disappear. The death rate of pathogens is $(1-\alfa)d_1$
4. Ahora puede modificar la DEs para tener en cuenta la evolución de aquellos que sobrevivieron dentro de las células inmunes. Usted puede agregar un crecimiento término para dar cuenta de su propagación dentro de la célula, un término que describe los patógenos que salen de la célula. Por último, podría ser un término que describe la tasa de mortalidad de los patógenos dentro de la célula inmune, es decir, describir a los agentes patógenos que no mueren durante el proceso de absorción, pero mueren con el tiempo. Así, un posible modelo podría ser como sigue: $$\begin{aligned}\dot{P}&=r_1P(1−\frac{P}{k})−d_1P(\frac{I}{I+σ})+\gamma P_s\\ \dot{P}_s&=r_2P_s(1−\frac{P_s}{k_2})+\alpha d_1 P\frac{I}{I+\sigma}-\gamma P_s-\delta P_s,\end{aligned}$$ donde $r_2$ $k_2$ es la tasa de crecimiento de patógenos dentro de las células inmunes y las respectivas capacidades; $\gamma$ es la inversa de la media del tiempo de residencia dentro de la célula (es decir, la tasa a la cual los agentes patógenos de la celda) y $\delta$ es la inversa de la duración de vida de un agente patógeno (que es la velocidad a la que mueren).