¿Es el producto exterior/de cuña de las formas diferenciales inyectivo?

Question

Es el producto cuña exterior de las formas diferenciales

$$ \begin{align*} \Omega(X) \otimes_{\mathbb{R}} \Omega(Y) &\longrightarrow \Omega(X\times Y) \\ \alpha \otimes \beta &\longmapsto \pi_X^*\alpha \wedge \pi_Y^*\beta \end{align*} $$

¿Inyectiva?

ACTUALIZACIÓN 1: Creo que lo he conseguido a nivel local:

Supongamos que $$\sum_{i=1}^n \alpha^i(x)\wedge \beta^i(y) = 0$$ para todos $(x,y)\in X\times Y$ . Si $X=\mathbb{R}^N$ , $Y=\mathbb{R}^M$ escribimos $$ \alpha^i(x) = \sum_I \alpha^i_I(x) \mathrm{d}x^I,\quad \beta^i(y) = \sum_J \beta^i_J(y) \mathrm{d}y^J $$ para $i=1,\ldots,n$ . La ecuación es equivalente a $$ \alpha_I(x) \cdot \beta_J(y) = 0 $$ para todos $I$ , $J$ y $x,y$ donde recogimos $\alpha^i_I$ y $\beta^i_J$ en vectores $\alpha_I(x), \beta_J(x) \in \mathbb{R}^n$ y usamos el producto punto. Se deduce que existe una base ortonormal $v_1, \ldots, v_{k}, w_1, \ldots, w_l\in \mathbb{R}^n$ , $k + l =n$ y los coeficientes de suavidad $a_I^u(x)$ , $b_J^v(y)$ tal que $$ \begin{aligned} \alpha_I(x)&= a_I^1(x) v_1 + \ldots + a_I^k(x) v_k \\ \beta_J(y) &= b_J^1(y) w_1+\ldots + b_J^l(y) w_l \end{aligned} $$ para todos $I, J$ y $x,y$ . Ahora tenemos $$ \sum_{i=1}^n \alpha^i \otimes \beta^i = \sum_{I,J,u,p} \bigl(\sum_{i=1}^n v^i_u w^i_p\bigr) (a^u_I (x) \mathrm{d}x^I)\otimes (b^v_J(y) \mathrm{d}x^J) = 0 $$ porque $v_u \perp w_p$ .

ACTUALIZACIÓN 2: Para $X$ , $Y$ compacto elegimos coberturas de coordenadas $(U_1,x_1),\ldots,(U_A,x_A)$ de $X$ y $(V_1,y_1),\ldots,(V_B,y_B)$ de $Y$ . Elegimos particiones subordinadas de la unidad $(\lambda_a)$ y $(\mu_b)$ respectivamente. Lo hacemos de tal manera que las colecciones $(\lambda_a\mathrm{d}x^I_a)_{a,I} \subset \Omega(X)$ y $(\mu_b \mathrm{d}y_b^J)_{b,J} \subset \Omega(Y)$ son $\mathbb{R}$ -independientes linealmente. Se deduce que la colección $\bigl((\lambda_a\mathrm{d}x^I)\otimes(\mu_b \mathrm{d}y^J)\bigr)_{a,I,b,J}$ es linealmente independiente en $\Omega(X)\otimes_{\mathbb{R}}\Omega(Y)$ . Escribimos $\alpha^i$ y $\beta^i$ como combinaciones lineales (con funciones como coeficientes) de $(\lambda_a\mathrm{d}x^I)$ y $(\mu_b \mathrm{d}y^J)$ respectivamente y aplicar exactamente el mismo argumento que el anterior sustituyendo $(\mathrm{d}x^I)_I$ por $(\lambda_a\mathrm{d}x^I)_{a,I}$ y $(\mathrm{d}y^J)_J$ por $(\lambda_b\mathrm{d}y^J)_{b,J}$ . Vemos que el producto cuña exterior para el compacto $X$ , $Y$ es inyectiva.

ACTUALIZACIÓN 3 (reacción a un comentario): Nunca es un isomorfismo ya que, por ejemplo $e^{xy}$ no es igual a una suma finita de productos $f(x)g(y)$ .

ACTUALIZACIÓN 4: Creo que lo tengo por no compacto $X$ , $Y$ también: Dejemos que $U_i$ , resp. $V_j$ ser agotamiento de $X$ , resp. $Y$ por conjuntos abiertos relativamente compactos. Cada uno de ellos tiene un atlas finito, y por tanto, modificando la prueba anterior, el producto cuña exterior $\Omega(U_i)\otimes \Omega(V_j) \rightarrow \Omega(U_i\times V_j)$ es inyectiva. Para el caso de $i$ el producto cuña exterior induce una inyección $$\varprojlim_j \Omega(U_i)\otimes \Omega(V_j) \simeq \Omega(U_i) \otimes \varprojlim_j(\Omega(V_j)) \longrightarrow \varprojlim_j \Omega(U_i \times V_j)$$ donde hemos utilizado que el límite inverso conmuta con el producto tensorial y preserva la exactitud. Tomando el límite inverso sobre $i$ obtenemos de forma similar una inyección $$ \varprojlim_i(\Omega(U_i))\otimes \varprojlim_j(\Omega(V_j)) \longrightarrow \varprojlim_i \varprojlim_j \Omega(U_i\times V_j) $$ Es fácil comprobar que las restricciones de $X$ a $U_i$ , resp. $Y$ a $V_j$ , resp. $X\times Y$ a $U_i\times V_j$ inducen incrustaciones de $\Omega(X)$ , resp. $\Omega(Y)$ , resp. $\Omega(X\times Y)$ en $\varprojlim_i(\Omega(U_i))$ , resp. $\varprojlim_j(\Omega(V_j))$ , resp. $\varprojlim_i \varprojlim_j \Omega(U_i\times V_j)$ y que la inyección inducida se restringe al producto cuña exterior $\Omega(X)\otimes \Omega(Y) \rightarrow \Omega(X\times Y)$ . En consecuencia, es inyectiva.

PREGUNTA QUE QUEDA: ¿Es correcta la prueba anterior? ¿Cierro la pregunta?

Answer 1

Creo que yo mismo he respondido a la pregunta.