Función generadora de Tableaux joven

Question

Se sabe que el número de tableaux jóvenes de$n$ celdas satisface la recurrencia$a_{n+1} = a_{n} + na_{n-1}$. Estoy tratando de encontrar la función de generación, pero sigo recibiendo algo dependiente de$n$. Esto es lo que hice hasta ahora:

Denotamos por $f(x) = \sum_{n\geq 1}a_nx^n$. Tenemos$\sum_{n \geq 1} a_{n+1}x^n = f(x) + nxf(x)$ (si suponemos$a_1 = 1, a_2 = 2$). Podemos inferir que$\sum_{n \geq 1} a_{n+1}x^n = \frac{f(x)}{x} - 1$.

Answer 1

El primer paso es buscar en la OEIS y ver que esta es la secuencia de A000085. La secuencia crece tan rápido que la o.g.f. tiene radio de convergencia $0$. Esto sugiere fuertemente mirando el correo.g.f lugar, que en la OEIS entrada es dado como $\exp(x+x^2/2).$ La pregunta ahora es cómo derivar este correo.g.f. a partir de la recursividad $\;a_{n+1}=a_n+na_{n-1}\;$ inicial y los valores de $\;a_0=a_1=1,\;a_2=2.$

Hay varios métodos. En primer lugar, la OEIS menciona que el correo.g.f. $A(x)$ para A000085 satisface D. E. $A'(x) = A(x)(1+x),\;$ y como se menciona en otra respuesta a esta pregunta, y por lo tanto conduce a $A(x)=\exp(x+x^2/2).\;$ Un poco diferente es $\;A''(x) = A'(x)(1+x) + A(x)\;$ que viene directamente de la recursividad $\;a_{n+2}=a_{n+1}+(n+1)a_n\;$ o la derivada de la primera D. E. para $A(x).$

Answer 2

Usando$a_{n+1} = a_{n} + n \, a_{n-1}$ con$a_{0} = 1$, se puede obtener la siguiente función de generación exponencial.

Deje$$B(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \, t^{n}$ $ then \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{n!} \, t^{n} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1) \, a_{n+1}}{(n+1)!} \, t^{n} = \frac{d}{dt} \, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \, t^{n} \\ &= \frac{d}{dt} \left( B(t) - a_{0} \right) = B'(t) \end {align} y \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{n!} \, t^{n} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \, t^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \, a_{n-1}}{n!} \, t^{n} \\ B' &= B + t \, B \end {align} que se puede ver como$$ \frac{d}{dt} \, \ln(B) = 1 + t $ $ y conduce a$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \, t^{n} = e^{t + \frac{t^{2}}{2}}.$ $

La forma lineal se puede obtener de una mansión similar. Deje$$A(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, t^{n}$ $ for: \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2} \, t^{n} &= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} \, t^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) \, a_{n} \, t^{n} \\ \frac{1}{t^2} \, (A - a_{0} - a_{1} \, t) &= \frac{1}{t} \, (A - a_{0}) + \frac{d}{dt} \left( t \, A \right) \\ t^3 \, A' + (t^2 + t -1) \, A &= (a_{0} - a_{1}) \, t - a_{0}. \end {align} Resolver esta ecuación lleva a$$A(t) = \frac{1}{t} \, e^{\frac{1}{t} - \frac{1}{2 \, t^2}} \, \left( \int_{1}^{t} e^{-\frac{1}{x} + \frac{1}{2 \, x^2}} \, \left(\frac{- a_{0} + (a_{0} - a_{1}) x}{x^2}\right) \, dx + c_{1} \right).$ $

A partir de aquí, es una cuestión de determinar las constantes.