Imagen del mapa lineal y la imagen de su dual

Question

Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios vectoriales sobre un campo de tierra común $F$ no necesariamente de dimensión finita.

Dejemos que $T : V \to W$ sea una transformación lineal.

Dejemos que $T^* : W^* \to V^*$ sea su dual, dado por $T^* : w^* \mapsto w^* \circ T$ .

¿Podemos comparar $\dim \operatorname{im} T$ y $\dim \operatorname{im} T^*$ ?

Answer 1

Se sabe (al menos para $V=W$ pero estoy seguro de que es cierto en general) que $T^*$ tiene un rango finito si y sólo si $T$ tiene un rango finito. En este caso, tienen el mismo rango.

Answer 2

Podemos factorizar $T$ como

$$V \xrightarrow{\pi} V/\ker T \xrightarrow{\tilde{T}} \operatorname{im} T \xrightarrow{\iota} W$$

y en consecuencia $T^{\ast}$ como

$$V^{\ast} \xleftarrow{\pi^{\ast}} (V/\ker T)^{\ast} \xleftarrow{\tilde{T}^{\ast}} (\operatorname{im} T)^{\ast} \xleftarrow{\iota^{\ast}} W^{\ast}.$$

Desde $\pi$ es suryente, se deduce que $\pi^{\ast}$ es inyectiva, y como $\tilde{T}$ es un isomorfismo, también lo es $\tilde{T}^{\ast}$ . Utilizando el axioma de elección (ya que no podríamos hablar de dimensiones sin él, no tiene sentido tratar de evitarlo), la inyectividad de $\iota$ implica la subjetividad de $\iota^{\ast}$ . De ello se desprende que

$$\dim \operatorname{im} T^{\ast} = \dim\: (V/\ker T)^{\ast} = \dim\: (\operatorname{im} T)^{\ast} \geqslant \dim \operatorname{im} T\,,$$

con igualdad si y sólo si $T$ tiene un rango finito.