¿Cómo afinar una cubierta del Cantor fijado por intervalos a una cobertura por segmentos separados?

Question

Deje $C$ ser el Cantor del Medio Tercer Set en $[0,1],$

Pregunta Supongamos que $\{O_1,O_2,...,O_n \}$ es finito, cubriendo $C,$ donde cada una de las $O_i$ es un intervalo abierto para todos los $1\leq i \leq n.$

Por reordenamiento, podemos asumir que la izquierda extremos de $O_i$ están en orden ascendente.

Para cualquier $1\leq i \leq n,$ ¿existe $\alpha_i$ $\beta_i$ tal que $$[\alpha_i,\beta_i] \subseteq O_i, [\alpha_{i+1},\beta_{i+1}]\subseteq O_{i+1}, \alpha_i<\beta_i<\alpha_{i+1}<\beta_{i+1}, \bigcup_{I=1}^n [\alpha_i,\beta_i] \supseteq C$$ y $\alpha_i,\beta_i = \frac{m_i}{3^{n_i}}$ algunos $m_i,n_i\in\mathbb{N}$ tal que $m_i$ no es divisible por $3?$

Estoy tratando de construir $\alpha_i$ $\beta_i$ $\{ O_1,O_2,O_3 \}.$

Deje $O_1 = (c_1,d_1), O_2 = (c_2,d_2)$ $O_3 = (c_3,d_3)$ ser tal que $c_1<c_2<c_3.$ Claramente $c_1<0.$ De modo que podemos elegir $\alpha_1 = \frac{m_1}{3^{n_1}}$ de las grandes suficientemente $n_1$, de modo que $c_1<\alpha_1<0.$

Ahora, el problema radica en la obtención $\beta_1.$ Claramente necesitamos $\beta_1$ $\alpha_2$ de manera tal que no hay ningún elemento $x$ en el conjunto de Cantor, que se encuentra entre $\beta_1$ $\alpha_2.$ De lo contrario, $C$ no puede estar incluida en la unión de $[\alpha_i,\beta_i].$ Pero no tengo idea de cómo elegir a $\beta_1.$

Creo que esto se puede hacer como $C$ es denso en ninguna parte, es decir, para cada intervalo de $I,$ hay una subinterval $J\subseteq I$ tal que $J\cap C = \emptyset.$

Answer 1

Poner $\mathcal O=\{O_1,O_2,...,O_n \}$$O=\bigcup\mathcal O$. Desde $\{C_m\}$ (véase la Wikipedia referencia) es una familia de conjuntos compactos y $C=\bigcap C_m\subset O$ existe $C_m\subset O$ (este simple hecho, incluso puede ser referenciado como un corolario de Šura-Bura Lema). Pick $k\ge m$ tal que $1/3^{k}$ es menor que la de Lebesgue número de la cobertura $\mathcal O$$C_m$. Para cualquier segmento de $S$ constituyendo $C_k$ deje $i(S)$ ser el más pequeño $i$ tal que $S\subset O_i$. Para cada una de las $i$ puesto $C(i)=\bigcup\{S:i(S)=i\}$, y si $C(i)\ne\varnothing$ puesto $\alpha_i=\min C(i)$, e $\beta_i=\max C(i)$. La elección de $k$ implica que el $C_k\subset\bigcup C(i)$, la convexidad de $O's$ implica que el $[\alpha_i,\beta_i]\subset O_i$ por cada $i$, también la construcción implica que $\beta_i<\alpha_{j}$ por cada $i<j$. En el pasado, es fácil comprobar que podemos consecutivamente insertar pequeños segmentos de $[\alpha_j,\beta_j]\subset O_j$ con ternario racional de los extremos (necesariamente disjuntas con $C_k$) para estos $j$ con vacío $C_j$ antes ya construidos $[\alpha_i,\beta_i]$ y después de la última $[\alpha_i,\beta_i]$ (por ejemplo, en $n=7$, $C(2)$, $C(3)$, y $C(7)$ están vacías, a continuación, insertamos $[\alpha_3,\beta_3]$ $[\alpha_4,\beta_4]$ ,$[\alpha_2,\beta_2]$$[\alpha_3,\beta_3]$, y, a continuación, $[\alpha_7,\beta_7]$ después $[\alpha_4,\beta_4]$). Por último, tenemos las $C\subset C_k\subset\bigcup[\alpha_i,\beta_i]\subset O$.