Otro intento de resolver un PDE con el método de las características

Question

Quiero usar el método de las características para obtener la solución a este PDE,

$$\frac{\partial F}{\partial t}=\left(z-t\right)\left(\beta z-\gamma\right)\frac{\partial F}{\partial z}$$

lo que he visto es de la forma

$$F\left(t,z\right)=F\left(\left(\frac{\beta\left(z-1\right)}{\beta z-\gamma}\right)e^{\left(\beta-\gamma\right)t}\right).$$

Intento:

Yo estaba tratando mediante la identificación de la PDE con uno de la forma

$$a\left(t,z\right)F_{z}+b\left(t,z\right)F_{t}=g\left(t,z,F\right),$$

derivando la solución de $h\left(t,z\right)=c_{1}$

$$\frac{dz}{dt}=\frac{a\left(t,z\right)}{b\left(t,z\right)}$$

a continuación, la solución de $j\left(t,z,F\right)=c_{2}$

$$\frac{dF}{dt}=\frac{g\left(t,z,F\right)}{b\left(t,z\right)}$$

y ponéis $j\left(t,z,F\right)=K\left(h\left(t,z\right)\right)$.

Sin embargo, me quedé atrapado cuando me dejaron en la siguiente ODA a resolver,

$$z'\left(t\right)=-\beta z^{2}\left(t\right)+\beta tz\left(t\right)+\gamma z\left(t\right)-\gamma t.$$

¿Cómo puedo solucionar el problema?

Answer 1

Sustituto ecuación $$z'\left(t\right)=-\beta z^{2}\left(t\right)+\beta tz\left(t\right)+\gamma z\left(t\right)-\gamma t$ $ $$z=-\beta z(z-t)+\gamma( z- t)$ $ $$z=(\gamma-\beta z)( z- t)$ $ de Riccati $u=(\gamma-\beta z) \implies z=\frac {(\gamma -u)} {\beta}$ $$-\frac {u'}{\beta}=u(\frac {\gamma}{\beta}-\frac u {\beta}-t)$ $$$u'=u( {u-\gamma} + t {\beta})$ $que es simplemente la ecuación de Bernoulli... $$\boxed{u'=u(t {\beta}-\gamma)+ u^2}$ $$$-(\frac 1 u)'= \frac {(t {\beta}-\gamma)} u+ 1 $ $$$\boxed{w'= w (\gamma-t\beta)-1 \text{, where } w=\frac 1 u=\frac 1 {\gamma-\beta z} }$ $y es un ODE primera fácil de resolver...

Answer 2

Deje que $$z'\left(t\right)=-\beta z^{2}\left(t\right)+(\beta t+\gamma)z\left(t\right)-\gamma t.$ $ $\quad z(t)=\frac{y'(t)}{\beta y(t)} \quad\to\quad z'=\frac{y''}{\beta y}-\frac{y'^2}{\beta y^2} =-\beta \left(\frac{y'}{\beta y} \right)^{2}+(\beta t+\gamma)\frac{y'}{\beta y} -\gamma t$ % $ $$y''-(\beta t+\gamma)y' +\gamma\beta ty=0$este es un segundo orden lineal ODE fáciles de resolver para $y(t)$. Calcular $z(t)=\frac{y'(t)}{\beta y(t)} $.

Answer 3

Solo para aclarar la sustitución de la función en Jaquelins respuesta: la sustitución se relaciona con el derivado logarítmico que está muy famouse: $$\frac{\partial \{\log(y(t))\}}{\partial t} = \frac{y'(t)}{y(t)}$$ Where $y'(t)$ is the inner derivative and $\frac{\partial\log(y)} {\partial y} = \frac{1}y$ el derivado exterior según la regla de la cadena.