¿$x+\sqrt{x}$ Ronda alguna vez a un cuadrado perfecto, dado $x\in \mathbb{N}$?

Question

Voy a definir el redondeo como $$R(x)=\begin{cases} \lfloor x \rfloor, & x-\lfloor x \rfloor <0.5 \\ \lceil x \rceil, & else\end{cases}$$

Qué $x+\sqrt{x}$ ronda (al entero más cercano) a un cuadrado perfecto, dado $x\in \mathbb{N}$?

Por ejemplo, $7+\sqrt{7}=9.646...$, lo que redondea, y $57+\sqrt{57}=64.549...$ que también ronda. También, $6+\sqrt{6}$ $57+\sqrt{57}$ se redondean hacia abajo.

Creo que los enteros positivos $x$ tal que $\lfloor x+\sqrt{x} \rfloor =k^2, k\in \mathbb{Z}$ son todos de la forma $n^2+n+1, n\in \mathbb{Z}^+$. El conjunto de todos los $x$ comienza: $\{3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, \dots \}$ y todos esos números son de la forma $n^2+n+1$

Traté de encontrar un patrón para si la parte decimal de $\sqrt{n^2+n+1}$ es de menos de $0.5$ o no, y traté de modificar $\sqrt{n^2+n+1}$ $\sqrt{n^2+2n+1}=(n+1)^2$pero que no llevan a ninguna parte.

Hay un algebraicas prueba/refutación de mi reclamación?

Gracias.

Answer 1

Suponga $x\in\Bbb Z^+$. Si $x=m^2$ es un cuadrado perfecto, entonces $$m^2<x+\sqrt x=m^2+m<m^2+2m+1=(m+1)^2$$ un so $x+\sqrt x=R(x+\sqrt x)$ no puede ser un cuadrado perfecto. Por lo tanto, sólo necesitamos considerar el caso de que $x$ no es un cuadrado perfecto, lo que hace que $\lfloor x+\sqrt x\rfloor <\lceil x+\sqrt x\rceil$.

Deje $n\in\Bbb Z^+$ ser máxima con $n(n+1)<x$. A continuación,$x=n^2+n+d$$1\le d\le (n+1)(n+2)-n(n+1)=2n+2$. Esto hace que $$\lfloor x+\sqrt x\rfloor = n^2+n+d+n=(n+1)^2+d-1.$$ Esto es$\ge (n+1)^2$$\le n^2+4n+2<(n+2)^2 $.

Por lo tanto $ k^2=\lfloor x+\sqrt x\rfloor$ implica $k=n+1$, $x=n^2+n+1$. Pero $$(n+\tfrac12)^2=n^2+n+\tfrac14<x$$ implies that $x+\sqrt x$ debe redondear hacia arriba, no hacia abajo.

Del mismo modo, $k^2=\lceil x+\sqrt x\rceil = \lfloor x+\sqrt x\rfloor+1$ implica $k=n+2$, $d=(n+2)^2+1-(n+1)^2=2n+2$, $x=n^2+3n+2$. Pero $$ (n+\tfrac32)^2=n^2+3n+\tfrac 94>x$$ implica que $x+\sqrt x$ debe ser redondeado hacia abajo, no hacia arriba.

Llegamos a la conclusión de que $R(x+\sqrt x)$ nunca es un cuadrado perfecto para $x\in\Bbb Z^+$.

Answer 2

$$\sqrt{n^2+n+1}= \sqrt{\left(n+\frac12\right)^2+\frac 34} > n+\frac 12$ $ Y $$\sqrt{n^2+n+1} < \sqrt{n^2+2n+1} =n+1$ $

$$\implies n+0.5 <\sqrt{n^2+n+1} <n+1$$

Así $\rm{fractional part}{(n^2+n+1)}>0.5$

Answer 3

Desde \overbrace{n^2-n+\sqrt{n^2-n}}^{\text{$n^2-n$ $$ es demasiado pequeño}} \lt n ^ 2-\frac12\iff\overbrace {\sqrt {n ^ 2-n} \lt n-\frac12} ^ {n ^ n\ 2, \lt\, n ^ 2-n + \frac14} $ y $ \overbrace{n^2-n+1+\sqrt{n^2-n+1}}^{\text{$n^2-n+1$ es demasiado grande}} \gt n ^ 2 + \frac12\ iff\overbrace {\sqrt {n ^ 2-n +1} \gt n-\frac12} ^ {n ^ 2-n +1\, \gt\, n ^ 2-n + \frac14} $$ no puede ser entero $x$ por lo que $x+\sqrt{x}$ se redondea a un cuadrado.