Calcular límite con L ' Hospital ' regla s

Question

Quiero calcular el % de límite $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos \left (\frac{1}{x}\right )}{\sin x}}$.

He hecho lo siguiente:

Sostiene que el $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos \left (\frac{1}{x}\right )}{\sin x}=\frac{0}{0}$.

Por lo tanto, podemos utilizar la regla de L'Hospital:\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos \left (\frac{1}{x}\right )}{\sin x}&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos \left (\frac{1}{x}\right )}{\sin x} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left (x^2\cos \left (\frac{1}{x}\right )\right )'}{\left (\sin x\right )'} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\cdot \cos \left (\frac{1}{x}\right )+x^2\cdot \left (-\sin \left (\frac{1}{x}\right )\right )\cdot \left (\frac{1}{x}\right )'}{\cos x} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\cdot \cos \left (\frac{1}{x}\right )-x^2\cdot \sin \left (\frac{1}{x}\right )\cdot \left (-\frac{1}{x^2}\right )}{\cos x} \\ & =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\cdot \cos \left (\frac{1}{x}\right )+\sin \left (\frac{1}{x}\right )}{\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left (2x\cdot \cos \left (\frac{1}{x}\right )+\sin \left (\frac{1}{x}\right )\right ) \\ & =\lim_{x\rightarrow 0}\left (2x\cdot \cos \left (\frac{1}{x}\right )\right )+\lim_{x\rightarrow 0}\left (\sin \left (\frac{1}{x}\right )\right )\end{align*}

Calculamos los dos límites por separado

• $\lim_{x\rightarrow 0}\left (2x\cdot \cos \left (\frac{1}{x}\right )\right )$ :

\begin{equation*}\left |\cos \left (\frac{1}{x}\right )\right |\leq 1 \Rightarrow -1\leq \cos \left (\frac{1}{x}\right )\leq 1 \Rightarrow -2x\leq 2x\cdot \cos \left (\frac{1}{x}\right )\leq 2x\end{ecuación *} que consideramos límite $x\rightarrow 0$ y haz\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0} \left (2x\cdot \cos \left (\frac{1}{x}\right ) \right )=0\end{ecuación *}

• ¿Cómo podemos calcular el % de límite $\lim_{x\rightarrow 0}\left (\sin \left (\frac{1}{x}\right )\right )$?

Answer 1

El uso de L'Hospital de la regla, uno necesita comprobar si $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ existe. Así que en este caso la topologist de la curva sinusoidal $\sin(1/x)$ no tiene límite cuando $x\rightarrow 0$, por lo que L'Hospital de la regla no aplica.

Ahora uso el truco de \begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}=1 \end{align*} y que \begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}x\cos(1/x)=0 \end{align*} a la conclusión de que el valor límite es cero.

Para la prueba de $x\cos(1/x)\rightarrow 0$ siempre $x\rightarrow 0$: \begin{align*} |x\cos(1/x)|\leq|x|, \end{align*} y ahora utilizamos el Teorema del sándwich a la conclusión de que la $\lim_{x\rightarrow 0}x\cos(1/x)=0$ debido a que $\lim_{x\rightarrow 0}|x|=0$.

La afirmación de que los topologist de la curva sinusoidal no tiene límite de $x\rightarrow 0$, simplemente deje $a_{n}=\dfrac{1}{2n\pi}$$b_{n}=\dfrac{1}{2n\pi+\pi/2}$, lo $a_{n},b_{n}\rightarrow 0$ pero $\sin(1/a_{n})=0\rightarrow 0$$\sin(1/b_{n})=1\rightarrow 1$, la función tiene dos distintas límite de puntos siempre $x\rightarrow 0$, por lo que el límite no existe.

Answer 2

Regla de l ' hospital no es el alfa y la omega del cómputo de límites. Cuando funciona, fórmula de Taylor de orden $1$ también trabaja, y es menos peligroso.

Esto dicho, en el presente caso, haciendo algunos análisis asintótico da una respuesta rápida:

Cerca del $0$, $\;\sin x \sim x$ y $ \cos \frac1x$ es limitado, por lo que $$\frac{x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}\sim_0\frac{x^2}x\cos\frac1x=x\,O(1)=O(x),$ $ y el segundo tiende a $0$ $x$ tiende a $0$.

Answer 3

El límite $$\lim_{x\rightarrow 0}\left (\sin \left (\frac{1}{x}\right )\right )$ $

no existe.

Observe que $x\to 0^+$, $1/x\to \infty$.

Por lo tanto sin(1/x) salta hacia arriba y hacia abajo entre $-1$y $1$ infinitamente muchas veces.

Por lo tanto no existe límite $$\lim_{x\rightarrow 0}\left (\sin \left (\frac{1}{x}\right )\right )$ $.

Hay que probar un enfoque diferente para evitar este límite.