¿Son invertibles la mayoría de los operadores lineales?

Question

¿Son invertibles la mayoría de las matrices? discute esta cuestión para las matrices. Todas las respuestas utilizan implícitamente la topología vectorial (única) en el espacio de $n \times n$ matrices. Pero tengo entendido (corrígeme si me equivoco) que los operadores lineales de dimensión infinita pueden tener múltiples normas vectoriales que inducen topologías no equivalentes, por lo que la cuestión se vuelve más complicada. Mi pregunta (no del todo precisa) es, para un espacio vectorial infinito, ¿es el conjunto de isomorfismos un conjunto abierto denso bajo cada topología de operador "razonable"? ¿Bajo toda topología de norma de operador inducida por una norma "razonable" en el espacio vectorial? Mi intuición dice que sí, pero me gustaría saber si alguien puede precisar las palabras "razonable".

(Supongo que no hay una forma natural de generalizar el sentido de la medida de Lebesgue de "casi todas las matrices son invertibles" al caso de dimensión infinita, debido a la ausencia de un medida de Lebesgue inifinita-dimensional (pero corrígeme si me equivoco).

Answer 1

Enlace a una pregunta y respuesta de Math.SE . Aquí se demuestra que en el espacio $\mathcal B(E)$ de operadores acotados en un espacio de Banach $E$ Si la norma del operador es correcta, los operadores invertibles siempre forman un conjunto abierto que puede no ser denso.

La siguiente pregunta interesante es si lo mismo ocurre si $\mathcal B(E)$ está equipado con un $^{[1]}$ topología, como el topología de operador fuerte . No tengo ni idea de si esto es cierto o no.

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[1] Utilizo el adjetivo "más débil" en el sentido del análisis. Es decir, aquí una topología $\tau$ en $\mathcal B(E)$ es más débil que la topología de la norma del operador $\tau_{\mathrm{op}}$ si y sólo si $\tau \subset \tau_{\mathrm{op}}$ .