No una respuesta, sino una figura adicional, mostrando cuadrilátero cíclico $\square ABCD$ y los diversos bisectrices de los ángulos (y perpendiculares a los mismos) que definen la incenters y excéntricas.
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El incentro de $\triangle BCD$ es con la etiqueta "$A^\prime$", debido a que $A$ es el excluido vértice del cuadrilátero. Asimismo, las excéntricas de $\triangle BCD$ función "$A$", con los subíndices que indican el vértice opuesto a la excéntrica en ese triángulo.
Hay algunas difíciles de ver las apelaciones concurrentes a lo largo del círculo. Por ejemplo,
- $\overline{AD_A} \cap \overline{DA_D}$ es el punto medio de la $\stackrel{\frown}{BC}$. Esto es debido a que cada segmento se divide en dos partes iguales un ángulo inscrito que subtiende el arco.
- $\overline{A_BA_C}\cap\overline{D_BD_C}$ es el punto diametralmente opuesto $\overline{AD_A}\cap\overline{DA_D}$.
He aquí otro diagrama, que surgió de la investigación de un inversa:
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A partir de un rectángulo con $\square WXYZ$, podemos elegir los puntos de $P$, $Q$, $R$, $S$ y $P^\prime$, $Q^\prime$, $R^\prime$, $S^\prime$ (con el preparado y de la onu-cebado de pares de ser imágenes bajo una reflexión simétrica). La condición bajo la cual $\overline{PQ^\prime}$, $\overline{R^\prime Z}$, $\overline{SX}$
de acuerdo (en $A$) de las fuerzas de la correspondiente apelaciones concurrentes en $B$, $C$, $D$; por otra parte, las fuerzas de $\square ABCD$ a ser cíclica.
Curiosamente, no hay ningún requisito de que el "interior" rectángulo mentira dentro de la "exterior" de rectángulo. Un cíclica $\square ABCD$ se produce, no importa donde $P$, $Q$, $R$, $S$ la mentira en el exterior del rectángulo de líneas de tiempo.
Sin embargo, $\square WXYZ$ no es el rectángulo asociado con $\square ABCD$ por la segunda parte de los Japoneses Teorema; también, el "interior" rectángulo no es el rectángulo de incenters de la primera parte. Los rectángulos son bastante distintas (la exterior está etiquetada $\square W^\prime X^\prime Y^\prime Z^\prime$), aunque sus bordes son paralelos a los de $\square WXYZ$. (El "interior" de los rectángulos no necesariamente comparten un centro.)
La investigación continúa ...
He aquí un poco de un reinicia la discusión de la "inversa" de la situación. (A lo largo, voy a ignorar convenientemente diversas degeneraciones, especialmente aquellas que causan denominadores a desvanecerse.)
Deje $\square PQRS$ $\square P^\prime Q^\prime R^\prime S^\prime$ "en paralelo" de los rectángulos, con $P$ $P^\prime$ "frente a" los vértices, como se indica en la figura. También, vamos a $P^\prime$ proyecto a los puntos de $P^{\prime\prime}$ $P^{\prime\prime\prime}$ a los lados de $\square PQRS$, como se muestra.
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No es difícil de demostrar con las coordenadas que las líneas de $\overleftrightarrow{PP^\prime}$, $\overleftrightarrow{S^{\prime\prime}Q^\prime}$, $\overleftrightarrow{R^{\prime\prime\prime}S^\prime}$ de acuerdo en un punto, $P_\circ$. (Uno puede demostrar la concurrencia mediante la trigonométricas de la forma del Teorema de Ceva en $\triangle P^\prime S^{\prime\prime} R^{\prime\prime\prime}$, pero los detalles son un poco desordenado.) El tratamiento de puntos como vectores de posición, uno puede escribir específicamente que
$$P_\circ = \frac{P^\prime\;|\square PR^\prime| - P\;|\square P^\prime R^\prime|}{|\square PR^\prime| - |\square P^\prime R^\prime| }$$
donde $|\square XY|$ denota el área del rectángulo con la diagonal $\overline{XY}$. De esta forma, podemos deducir
$$\frac{|\overline{PP_\circ}|}{|\overline{PP^\prime}|} = \frac{|\square PR^\prime|}{|\square PR^\prime|-|\square P^\prime R^\prime|} \qquad
\frac{|\overline{P^\prime P_\circ}|}{|\overline{PP^\prime}|} = \frac{|\square P^\prime R^\prime|}{|\square PR^\prime|-|\square P^\prime R^\prime|} \qquad \frac{|\overline{P^\prime P_\circ}|}{|\overline{PP_\circ}|} = \frac{|\square P^\prime R^\prime|}{|\square PR^\prime|}$$
Del mismo modo, podemos obtener los puntos de concurrencia $Q_\circ$, $R_\circ$, $S_\circ$. En general, estos puntos no son concyclic. Ellos son concyclic si $\square P^\prime Q^\prime R^\prime S^\prime$ está centrado horizontalmente y/o verticalmente, con respecto a $\square PQRS$ o, más interesante, si
$$|\square PR^\prime|\,|\square P^\prime R| = |\square PQRS|\,|\square P^\prime Q^\prime R^\prime S^\prime| = |\square QS^\prime|\,|\square Q^\prime S| \tag{$\estrella de$}$$
Es decir, el producto de las zonas del interior y exterior de los rectángulos es igual al producto de las áreas de par de "diagonal" rectángulos.
(No tengo una clara prueba geométrica de este hecho; dejo Mathematica crisis a través de una coordenada argumento.)
Curiosamente, la condición de $(\star)$ tiene una muy simple Ceva-como representación. Si definimos $p$, $q$, $r$, $s$ tal que
$$\overrightarrow{PP^{\prime\prime}} = p\;\overrightarrow{P^{\prime\prime}Q} \qquad
\overrightarrow{Q^{\prime\prime}} = q\;\overrightarrow{Q^{\prime\prime}R} \qquad \overrightarrow{RR^{\prime\prime}} = r\;\overrightarrow{R^{\prime\prime}S} \qquad \overrightarrow{SS^{\prime\prime}} = s\;\overrightarrow{S^{\prime\prime}P}$$
a continuación, $(\star)$ es equivalente a
$$p r + q s = pqrs \tag{$\estrellas\estrella de$}$$
(Normalmente, el Ceva proporción sería el recíproco de la que yo he escrito. Escrito $\overline{p}$ (etc) para que la reciprocidad, la relación del $(\star)$ sería aún más sencillo: $\overline{p}\overline{q}+\overline{r}\overline{s} = 1$. Las relaciones que a continuación iba a ser un poco desordenado, sin embargo.)
Condición de $(\star)$ también implica la concurrencia de $\overleftrightarrow{QP^{\prime\prime\prime}}$, $\overleftrightarrow{S^{\prime\prime\prime}R^{\prime\prime}}$, $\overleftrightarrow{Q^{\prime\prime}S}$, con el punto en común de ser $P_\circ$. (Es importante destacar que, la mera horizontal/vertical de centrado de los rectángulos no se garantiza la concurrencia, por lo que esta propiedad no es equivalente a $\square P_\circ Q_\circ R_\circ S_\circ$ ser cíclica.) Esta es la manera de obtener las configuraciones que se muestran en la parte anterior de esta respuesta.
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Vale la pena señalar algunas de las relaciones que implican el Ceva-como proporciones. Por ejemplo,
$$\frac{|\cuadrado PQRS|}{|\square PR^\prime|} = (1+r)(1+s) \qquad
\frac{|\cuadrado PQRS|}{|\square P^\prime R|} = (1+p)(1+q) \qquad \cdots$$
$$\frac{|\square PQRS|}{|\square P^\prime Q^\prime R^\prime S^\prime|} = \frac{(1+p)(1+q)(1+r)(1+s)}{(1-pr)(1-qs)} \;\stackrel{(\star\star)}{=}\; (1+p)(1+q)(1+r)(1+s)$$
$$\frac{|\overline{P^\prime P_\circ}|}{|\overline{PP_\circ}|} = \frac{(1-pr)(1-qs)}{(1+p)(1+q)}\;\stackrel{(\star\star)}{=}\; \frac{1}{(1+p)(1+q)}$$
Por supuesto, no hay ningún lugar en el aquí hemos dicho nada acerca de incenters o excéntricas o bisectrices de los ángulos. Podemos ver que el (extended) Japonés Teorema de configuración es un caso especial de una $(\star\star)$ configuración de la siguiente manera:
Dado cíclico $\square P_\circ Q_\circ R_\circ S_\circ$, definir
$$\alpha := \frac{1}{2}\ángulo Q_\circ P_\circ R_\circ \quad
\beta := \frac{1}{2}\ángulo R_\circ Q_\circ S_\circ \quad
\gamma := \frac{1}{2}\ángulo S_\circ R_\circ P_\circ \quad
\delta= \frac{1}{2}\ángulo P_\circ S_\circ Q_\circ$$
(Nota: $\alpha+\beta+\gamma+\delta = 90^\circ$.) Vamos $P$, $Q$, $P^\prime$ ser excéntricas, frente a $P_\circ$, $Q_\circ$, $Q_\circ$, para los respectivos triángulos $\triangle P_\circ Q_\circ S_\circ$, $\triangle Q_\circ P_\circ R_\circ$, $\triangle Q_\circ R_\circ S_\circ$. Con $k$ el radio del círculo, uno puede calcular
$$|\overline{PP^\prime}| = 4 k \sin(\alpha+\beta) \sin(\alpha+\delta) \qquad |\overline{P^\prime Q}| = 4 k \cos\alpha \sin\gamma$$
y del mismo modo para varios otros excéntricas, por lo que
$$\begin{align}
\frac{1}{p}\frac{1}{r}+\frac{1}{q}\frac{1}{s} &= \frac{\cos\alpha\sin\gamma \cdot \cos\gamma \sin\alpha + \cos\beta\sin\delta\cdot \cos\delta \sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta+\gamma)\sin(\gamma+\delta)\sin(\delta+\alpha)} \\[4pt]
&=\frac{\frac{1}{4}\left(\sin 2\alpha \sin 2\gamma + \sin 2\beta \sin 2\delta\right)}{\frac{1}{4}\left(\sin 2\alpha \sin 2\gamma + \sin 2\beta \sin 2\delta\right)} \\[4pt]
&=1
\end{align}$$
la satisfacción de $(\star\star)$. (¿Cómo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ se refieren a $p$, $q$, $r$, $s$ cuando $P$, $Q$, $R$, $S$, etc, son no excéntricas (todavía) no se conoce.)
