GACION clases y caracteres

Question

Esto surge en la lectura de la respuesta de David Speyer a esta pregunta. ¿Dado un grupo finito $G$ y dos no-conjugado elementos $x, y,$ cómo se construir una representación unitaria $\rho$ $G$ tal que $\rho(x)$ y $\rho(y)$ tienen diferentes huellas? (La misma pregunta tiene sentido para los grupos infinitos, pero está nada claro que esto siempre es posible en el ajuste infinito, incluso si se te cae "unitario").

Answer 1

En realidad, el borrado del post by George McNinch estaba en el camino correcto, al menos si uno sabe la central idempotents del grupo de álgebra $\mathbb{C}G.$ Si tomar el módulo de $\mathbb{C}G$ (que ofrece una representación unitaria con resepect para el estándar de los elementos del grupo), la central idempotente $e_{\chi},$ asociado a la irreductible carácter $\chi,$ es representado por la diagonal de la matriz idempotente de traza $\chi(1)^{2}.$ El derecho $\mathbb{C}G$ módulo de $e_{\chi}\mathbb{C}$ ofrece una representación unitaria con carácter $\chi(1) \chi.$ Para algunos la elección de $\chi,$ tenemos $\chi(x) \neq \chi(y),$, por lo que la representación conferida por $e_{\chi} \mathbb{C}G$ va a hacer.

Answer 2

Yo creo que siempre se puede hacer esto mediante la adopción de un representante del grupo cíclico generado por $x$, y la inducción de esto a todo el grupo. (EDIT: debo mencionar que esto fue sugerido en los comentarios.) Si $y$ no es conjugado a una potencia de $x$, el trivial será suficiente. Si $y$ es una potencia de $x$, a continuación, algunos no trivial 1-dimensiones de la representación de $\langle x\rangle$ va a trabajar.

Deje $n$ ser el orden de $x$. La acción de la normalizador de la $\langle x\rangle$ por la conjugación de este subgrupo ofrece un mapa a $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ con su núcleo centralizador. Deje $U$ ser la imagen de este mapa. Solo tenemos que elegir una representación donde el personaje valores de $x$ $y$ (que se $n$th raíces de la unidad) no conjugada en $U$ actuando como un subgrupo del grupo de Galois de $\mathbb{Q}[e^{2\pi i/n}]$. Si son los de siempre conjugado, que precisamente muestra que $x$ $y$ son conjugado como elementos del grupo.