Aplicando el teorema del valor medio a la fórmula

Question

Como yo lo entiendo, el valor de la media es el teorema de donde $${f}'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ if $f$ es continua en el intervalo abierto (a, b) y derivable en el intervalo cerrado [a,b].

Un problema en la actual tarea de establecer en WebAssign me tiene confundido. Dado $f(x)=x^{7}$ en el intervalo cerrado [0, 1], determinar si el MVT puede ser aplicado para el intervalo cerrado [a,b].

Desde $f(x)= x^{7}$ tiene un perfil similar a un cúbicos función de gráfico, y es diferenciable a ${f}'(x)= 7x^{6}$, pasa dos criterios para el MVT.

Ahora, la resolución de la MVT fórmula:

$${f}'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow \frac{[1^{7}]-[0^{7}]}{1-0} \Rightarrow \frac{1-0}{1-0} \Rightarrow \frac{1}{1}= 1$$

Ahora, necesito encontrar un número $c$ entre 0 y 1 que f'(c)=1. Sin embargo, el único número entero posibilidades de [0, 1] intervalo de producir $${f}'(0)= 7(0)^{6}= 0 \neq 1$$ $${f}'(1)= 7(1)^{6}= 7 \neq 1$$

Me estoy perdiendo algo aquí? La pregunta tiene dos partes: identificar si el MVT es aplicable, y encontrar los números de $c$ que ajuste el teorema en el intervalo. El número más próximo para $c$ que he encontrado que funciona es 0.724, lo que da un valor de 1.00815, pero no con 1 a la perfección.

Answer 1

Su declaración del Valor medio Teorema es un poco engañoso, y tiene los intervalos de vuelta. Lo que el Valor medio Teorema de los estados es que si $f$ es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$, entonces existe un $c\in (a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. (Continuidad en el intervalo más amplio, no el más pequeño!)

En cuanto a tu pregunta: el intervalo de $[0,1]$ incluye todos los números reales entre el$0$$1$, y no sólo los números enteros. La solución va a ser algo de real número $c$, $0\lt c \lt 1$, tal que $f'(c) = 1$.

En este caso, usted desea un valor de $c$ que $1 = f'(c) = 7c^6$. Por lo que desea encontrar un valor de $c$ que $c^6 = \frac{1}{7}$. Usted puede escribir una expresión que dice exactamente lo $c$ es, aunque usted no será capaz de encontrar cualquier decimal finito de expresión que le da $c$, debido a $c$ es un número irracional (que no es ni siquiera una fracción). Sin embargo, usted puede escribir. (Al igual que usted puede escribir un número real $d$ tal que $d^2 = 2$: es decir, $d=\sqrt{2}$; voila!).

Añadido. La intuición del Valor medio Teorema es:

(i) Si la función es "bonita", entonces hay un punto entre el $a$ $b$ donde la tangente es paralela a la línea que une la $(a,f(a))$$(b,f(b))$. Tenga en cuenta que "bonito" significa continua, ha tangentes en todas partes, y que considere todos los puntos entre el$a$$b$.

Quizá sea más útil para la intuición:

(ii) Si usted piensa de $f(x)$ como posición, por lo que el $f'(x)$ es la velocidad, a continuación, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ es el promedio de la velocidad durante todo el viaje. Lo que el Valor medio Teorema que nos dice es que tiene que haber al menos un punto en el tiempo en que su instantánea de la velocidad era igual a su media velocidad. E. g., si usted viaja a 100 kilómetros en dos horas, entonces tenía que haber algún instante en el que se viaja a 50 millas por hora. Pero no dicen que tiene que ser cuando estás empezando, una hora en el viaje, o cuando haya terminado el (los "números enteros" en la $[0,2]$). Ni siquiera que tenía que ser en algún "buen tiempo" (12:30 o 1:45 12:37). Algún tiempo; tal vez usted no puede incluso escribirlo exactamente, pero en algún tiempo.