Que $V$ ser un $n$-dimensional espacio del vector. Según Wikipedia, existe un isomorfismo $\bigwedge^k(V^*)\otimes\bigwedge^n(V)\cong\bigwedge^{n-k}(V)$. La explicación es que $\alpha \in \bigwedge^k(V^*)$ y $\sigma \in \bigwedge^n(V)$, el isomorfismo viene dado por $i_{\alpha}\sigma$ donde $i_{\alpha}$ denota el producto interior (o multiplicación) con $\alpha$. Me confundo con esto. Sólo he visto el interior producto de una forma por un covector de $1$. ¿Cómo uno define $i_{\alpha}\sigma$?
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Deje $\{e_i\}$ denotar una base de lo finito dim. espacio vectorial $V$. Con $\{w_i\}$ denotamos la base dual en $V^{*}$. La contracción $i:\wedge(V^{*})\otimes\wedge V\rightarrow \wedge V$ se define como sigue. (una pequeña nota: si desea $i$ a ser de grado $0$, se debe invertir la clasificación en el exterior álgebra de $V^{*}$: esto puede ser importante hacer gradual álgebra cálculos).
Para todos los $e_i\in\wedge^1 V$ $w_j\in\wedge^{1} V^{*}$
$i_{w_j}(e_i):=w_j(e_i)$.
Para todos los $e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_k}\in\wedge^k V$ $w_j\in\wedge^{1} V^{*}$
$i_{w_j}(e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_k}):=\sum_{l=1}^k(-1)^{l-1}e_{i_1}\wedge\dots\wedge w_j(e_l)\wedge\dots\wedge e_{i_k}$.
El $(-1)^{l-1}$ aparece porque nos estamos moviendo $w_j$ "a través de" $e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_{l-1}}$ contrato $w_j$$e_{i_l}$.
- $e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_k}\in\wedge^k V$ $w_{j_1}\wedge\dots\wedge w_{j_n}\in\wedge^n V^{*}$
$i_{w_{j_1}\wedge\dots\wedge w_{j_n}}(e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_k}):= i_{w_{j_1}}(i_{w_{j_2}}(\dots (i_{w_{j_n}}(e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_k})))$.
Espero que esto ayude
Muphrid
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¿Qué forma recursiva? $\alpha$ se puede descomponer como un producto exterior de $k$covectors $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$. Entonces $i_\alpha = i_{\alpha_1} i_{\alpha_2} \ldots i_{\alpha_k}$. Tal vez en ese orden o quizás revertir. Podría ser algún tipo de Convención de signo en el juego (venera de la orden de los productos), pero esto debe ser lo esencial de él.
Janis Veinbergs
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Ok puedo ampliar mi comentario.
Tomar $e^*_1 \in \bigwedge^k(V^*)$, $e_1 \wedge e_2 \in \bigwedge^n(V)$
De $$i_{e*_1}(e_1\wedge e_2) = e^*_1(e_1)\wedge e_2 - e_1 \wedge e^*_1(e_2) = e_2$$
Y ahora tomar: $\frac{1}{2}e^*_1 \in \bigwedge^k(V^*)$, $2 e_1 \wedge e_2 \in \bigwedge^n(V)$
Observa que se obtiene el mismo resultado:
$$i_{\frac{1}{2}e*_1}(2 e_1\wedge e_2) = 2\frac{1}{2}e^*_1(e_1)\wedge e_2 - 2\frac{1}{2}e_1 \wedge e^*_1(e_2) = e_2$$
Nota: No estoy seguro si tengo un signos de derecho. Si escribo $i_a^*(b\wedge c) = a^*(b)\wedge c - b\wedge a^*(c)$. Podría ser $i_a^*(b\wedge c) = - a^*(b)\wedge c b\wedge a^*(c)$ no recuerdo lo que la convención de signos es.
Por lo que el $(\alpha,\sigma) \rightarrow i_\alpha \sigma$ no puede ser de inyección como estado.
Hemos aclarado las cosas. Por eso queremos demostrar que para cualquier valor distinto de cero $\sigma \in \bigwedge^n(V)$ es el isomorfismo $\bigwedge^k(V^*)\cong\bigwedge^{n-k}(V)$. Dado por $\alpha \in \bigwedge^k(V^*) \rightarrow i_\alpha \sigma \in \bigwedge^{n-k}(V)$.
No voy a ir a través de cada paso, pero voy a mostrar lo que esta declaración dice geometricaly.
El $i_\alpha \sigma$ es lineal en $\alpha$, por lo que se demuestra que hay una correspondencia uno a uno entre la base.
y supongamos $\sigma = e_1\wedge \dots \wedge e_n$
Ejemplo: $i_{e^*_1\wedge e^*_2} = e_3\wedge \dots \wedge e_n$(aquí podría faltar signo menos, no recuerdo) Así que usted puede ver que en el lado derecho de obtener los vectores de la base que faltan en el lado izquierdo. Te he dejado completamente de formular esta declaración en general y probarlo.
Quiero hablar ¿qué significa geométricamente: $e_1\wedge e_2$ puede ser visualizado ad subespacio generado por $e_1,e_2$ $e_3\wedge \dots \wedge e_n$ representa su complemento ortogonal.
En general hay una cierta sutileza. No cada elemento $\alpha \in \bigwedge^k(V)$ puede visualizar como $k$ dimensiones subespacio pero esos si forman $\alpha = v_1 \wedge \dots \wedge v_k$ es $\mathbf{k}$ dimensiones subespacio generado por $v_1,\dots,v_k$. Así que $i_\alpha \sigma$ representa su complemento ortogonal. ThusS funciona para cada elemento de base.
Por ejemplo, $e_1\wedge e_2 + e_3\wedge e_4$ no representa ninguna $2$ espacio tridimensional. En realidad, yo tenía una pregunta acerca de esto aquí.
