Encontrar al número de simétrica y positiva definida %#% matrices de #% tener...

Question

Yo estaba buscando en los exámenes antiguos y me quedé con el siguiente problema:

¿Cuál es el número de simétrica positiva definida $10 \times 10$ matrices que tengan traza igual a $10$ y determinante igual a $1$ ? Las opciones son :

1. $0$

2. $1$

3. mayor que $1$ pero finito

4. Infinito.

Después de recibir la retroalimentación positiva,estoy publicando mi intento por separado como una respuesta.

Answer 1

Si $A$ es positiva definida, a continuación, sus autovalores $\lambda_i$ son reales y positivos. También sabemos que para cualquier matriz, $\sum \lambda_i = \operatorname{trace}(A)$$\prod \lambda_i= |A|$. En este caso, eso significa que estamos restringidos a $\sum \lambda_i =10$$\prod \lambda_i =1$. Ahora ,la aplicación de $$A.M. \ge G.M. \implies \frac{\sum \lambda_i }{10} \ge \sqrt[10] {\prod \lambda_i} \implies 1 \ge 1$$, where equality sign occurs only when $\lambda_1= \dots =\lambda_{10}$. Since in this case ,$1 \ngtr 1$, so only possibility is when $1=1 \implica \lambda_1= \dots =\lambda_{10}.$

Por tanto, sólo uno de esos simétrica positiva definida la matriz de tener todos los autovalores iguales) es posible.Así, la opción 2 es la elección correcta.

Como Sami Ben Romdhane menciona que "La única matriz similar a la matriz identidad es en sí mismo."