¿Si elementos consecutivos conmutación entre sí, significa que todos ellos conmuta entre sí?

Question

Que $x_1,x_2,...,x_k$ ser $k$ diferentes elementos de un grupo $G$ y $k\geq4$.

¿Si sabemos que conmuta $x_i$ $x_{i+1}$ $x_k$ conmuta con $x_1$, podemos decir que todas las $x_i$ conmuta entre sí?

Answer 1

Que $G = S_5$, el grupo simétrico de 5 elementos. Que $x_1 = (1,2), x_2 = (3, 4), x_3 = (1, 5), x_4=(2, 4), x_5 = (3, 5).$

Answer 2

Jajaja Considerar matrices elementales. Que $e_{ij}$ denotan la matriz con $(i,j)$entrada $\delta_{ij}$. Que $e_{ij}(\lambda)=1+\lambda e_{ij},i\neq j$. Asumir $n>2$. Tenemos las denominadas relaciones de Steinberg

$$\begin{align}&(1)& e_{ij}(\nu)e_{ij}(\mu)&=e_{ij}(\nu+\mu)\\ &(2)& [e_{ij}(\nu),e_{jk}(\mu)]&=e_{ik}(\nu\mu)&\text{ if }i\neq k\\ &(3)&[e_{ij}(\nu),e_{kl}(\mu)]&=1&\text{ if }i\neq k,j\neq k\end {Alinee el} $$

Esto debería permitirle construir ejemplos de longitud arbitraria. Por ejemplo, $$e_{15}(\nu),e_{24}(\mu),e_{53}(\xi),e_{24}(\zeta)$ $

da tal secuencia. Tenga en cuenta que las relaciones simplemente reflejan cómo operaciones de fila o columna se comportan uno con el otro.

Answer 3

Deje $C$ denotar el gráfico correspondiente a un ciclo de longitud cuatro y deje $G(C)$ ser el asociado en ángulo recto Artin grupo. Si la declaración fuera cierto, $G(C)$ sería un grupo abelian, y más precisamente, de un libre abelian grupo de clasificación de cuatro. Un grupo es también un ángulo recto Artin grupo, es decir, $G(K)$ donde $K$ es el grafo completo en los cuatro vértices. Sin embargo, se sabe que $G(C) \simeq G(K)$ es equivalente a $C \simeq K$, y el último isomorfismo es claramente falso.