Ecuación en radicales $x^7+7x^3-7x^2+7x+1=0$

Question

Resolver la siguiente ecuación en radicales. $$x^7+7x^3-7x^2+7x+1=0$ $ Es obvio que esta ecuación no tiene ninguna raíces racionales.

¿Y lo que es el resto?

Answer 1

El grupo de Galois del polinomio es $D_{14}$, por lo que es solucionable.

RadiRoot es una implementación del algoritmo descrito en este documento: http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/distler/Diplom.pdf. Este es el resultado de RadiRoot:

Deje $\zeta_7$ ser una primitiva $7$-ésima raíz de la unidad y de la $$\omega_1 = \sqrt[7]{ - \frac{5}{7^3}\zeta_{7}^{5} - \frac{4}{7^3}\zeta_{7}^{4} - \frac{4}{7^3}\zeta_{7}^{3} - \frac{5}{7^3}\zeta_{7}^{2} - \frac{3}{7^3}}.$$

A continuación, una raíz es

$$\left(-14 \zeta _7^5+28 \zeta _7^4+28 \zeta _7^3-14 \zeta _7^2+21\right) \omega _1^6+\left(7 \zeta _7^5-7 \zeta _7^4-7 \zeta _7^3+7 \zeta _7^2\right) \omega _1^5+\left(7 \zeta _7^4+7 \zeta _7^3+7\right) \omega _1^4+\left(\zeta _7^5-2 \zeta _7^4-2 \zeta _7^3+\zeta _7^2-5\right) \omega _1^3+\left(\zeta _7^5-\zeta _7^4-\zeta _7^3+\zeta _7^2\right) \omega _1^2+\omega _1.$$

Edit.

Por ejemplo, supongamos $\zeta_7 = e^{-\frac{4 i \pi }{7}}$. Entonces tenemos $$\omega_1 = \sqrt[7]{\frac{-3-8 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)+10 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)}{7^3}} \approx 0.43566,$$ y de la raíz es: \begin{align} \left(56 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)+28 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)+21\right) &\omega _1^6 \\-\left(14 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)+14 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) &\omega _1^5 \\+\left(14 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)+7\right) &\omega _1^4 \\-\left(4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)+2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)+5\right) &\omega _1^3 \\-\left(2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)+2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) &\omega _1^2 \\+\ &\omega _1 \approx -0.125215. \end{align}