Comprobación de que algún ideal es máxima en el ring polinomio multivariante

Question

Vamos a ser $k$ a un campo y $k[x_1,x_2,...,x_n]$ su polinomio anillo en $n$ variables. Vamos a ser $I$ el ideal generado por a $x_1-c_1,x_2-c_2,...,x_n-c_n$ donde $c_1,...,c_n$ son elementos de $k$. Quiero mostrar que la $I$ es un ideal maximal.

Creo que es útil para argumentar por inducción en $n$, mediante el isomorfismo entre el$k[x_1,x_2,...,x_n]/(x_1,...,x_{n-1})$$k[x_n]$, y que el cociente de anillo por un ideal maximal es un campo. Por otra parte el caso base $n=1$ es fácil de verificar.

Además, creo que no es la afirmación más general: Vamos a ser $p_1(x),...,p_n(x)$ irreductible en $k[x]$, entonces el ideal generado por a $p_1(x_1),...,p_n(x_n)$ es máxima en $k[x_1,...,x_n]$. Tal vez es más fácil demostrar que, puesto que nosotros no llegar en mal estado en los detalles como en el anterior caso específico.

Answer 1

Su estado general es lamentablemente falsa:
Considerar el % Polinomio irreducible $p_1(x)=p_2(x)=x^2+1\in \mathbb R[x]$.
A continuación, genera el ideal $\langle x^2+1, y^2+1\rangle \subset \mathbb R[x,y]$ $p_1(x)$ y $p_2(y)$ no máximo.
De hecho, $$\mathbb R[x,y]/\langle x^2+1, y^2+1\rangle\cong (\mathbb R[x]/\langle x^2+1\rangle)[y] /\langle y^2+1\rangle \cong \mathbb C[y]/\langle y^2+1\rangle\cong \mathbb C\times \mathbb C$ $ no es un campo.

Editar
El cálculo anterior está fuertemente ligado a la fórmula $A/I\otimes_R B/J\cong A\otimes_R B/(I^e+J^e)$ el producto del tensor de cociente $R$-álgebra, en el que la notación es más o menos explican por sí solas una vez que sabes que $(...)^e$ significa extensión de ideales.

Answer 2

Usted puede fácil responder a la 1 de la solicitud mediante el isomorfismo

$$R/I \simeq (R/J) / (I/J)$$ that holds if $I$ and $J$ are ideals such that $J \subseteq I$.

Luego de obtener

$$\mathbb{k}[x_1,\dots, x_n]/(x_1-c_1, \dots, x_n-c_n) \simeq $$ $$\simeq \mathbb{k}[x_1,\dots, x_n]/(x_n-c_n)/(x_1-c_1, \dots x_{n-1}-c_{n-1})^* \simeq$$ $$ \simeq \mathbb{k}[x_1,\dots, x_{n-1}]/(x_1-c_1, \dots x_{n-1}-c_{n-1}) \simeq$$ $$\simeq \mathbb{k}[x_1,\dots, x_{n-2}]/(x_1-c_1, \dots x_{n-2}-c_{n-2})\simeq \dots \simeq \mathbb{k}[x_1]/(x_1-c_1) \simeq \mathbb{k}$$

Ahora llegamos a la declaración general: Es FALSO!

Vamos a considerar el anillo de $\mathbb{R}[x,y]$ y el ideal de $I=(x^2+1,y^2+1)$

El cociente $\mathbb{R}[x,y]/I$ es isomorfo a $\mathbb{C}[x]/(x^2+1)\simeq\mathbb{C^2}$ que no es un dominio! (A continuación, el ideal no es sólo no maximat pero no es también primo!)

2º enunciado es VERDADERO si el campo es algebrically cerrado. De hecho, en este caso la única polinomios irreducibles son de grado 1, y estamos en el caso anterior.

(Este es uno de los Hilbert Nullstellensatz formas que dice que si $\mathbb{k}=\bar{\mathbb{k}}$, la máxima ideales de $\mathbb{k}[x_1,\dots, x_n]$ son todos de la forma $(x_1-c_1, \dots, x_n-c_n)$)

*En este pasaje y en el siguiente estoy escribiendo $((x_1-c_1, \dots x_{n-1}-c_{n-1}))$ para "la clase del ideal de la $(x_1-c_1, \dots x_{n-1}-c_{n-1})$ en el cociente $R/(x_n-c_n)$". Lo siento por el abuso de notación!

Answer 3

No hay que hacer la inducción. Por el contrario, intenta demostrar que el anillo homomorfismo $$\phi: k \rightarrow \frac{k[x_1,\dots,x_n]}{(x_1-c_1,\dots,x_n-c_n)}$$ given by $\phi(\alpha) = \bar{\alpha}$ es un isomorfismo.

Answer 4

Sugerencia: Hay que recordar que un ideal es máximo si quotienting por él da un campo.

Ahora consideremos el homomorfismo h $\phi :k[x_1,\dots,x_n]\rightarrow k$ de $\phi(f(x_1,\dots x_n)) = f(c_1,\dots,c_n)$.

Para la generalización, ¿sabes mucho sobre lo que sucede cuando usted el cociente $\frac{k[X]}{f(X)}$ % Polinomio irreducible dada $f(X)$?