¿Por qué el producto smash en cierta categoría de la rebanada es asociativa?

Question

Estoy tratando de mostrar la siguiente. Deje $(V, \times , \ast)$ ser un cartesiana cerrada monoidal simétrica categoría (por lo que el monoidal producto es el producto ordinario). Considerar la categoría de $V_\ast$ de la base de objetos, objetos bajo $\ast$, el terminal objet de $V$. Uno, a continuación, define el smash produt en $V_\ast$ de v y w para ser el pushout

$$\requieren{AMScd} \begin{CD} v \amalg w @>>> v \times w ;\\ @VVV @VVV \\ \ast @>>> v \wedge w. \end{CD}$$

Appearently, se supone que esto siga porque $V$ es cartesiana cerrada y por esto, $v \times -$ conserva colimits. Pero no veo cómo esto da a mi proposición, por desgracia.

Anyhelp se agradece.

Answer 1

Creo que la mejor manera de proceder es la construcción de la interna para hom $\mathcal{V}_*$. Escrito $[-, -]$ para el interior de hom $\mathcal{V}$, tenemos los siguientes ecualizador diagrama en $\mathcal{V}$, $$\mathrm{Hom}_* (V, W) \rightarrow [V, W] \rightrightarrows W$$ donde una flecha $[V, W] \to W$ es inducida por el distinguido punto de $1 \to V$, y la otra flecha $[V, W] \to W$ es inducida por el distinguido punto de $1 \to W$. El distinguido punto de $\mathrm{Hom}_* (V, W)$ corresponde al cero de morfismos $V \to W$, por supuesto. Entonces uno tiene que establecer el siguiente isomorfismo natural: $$\mathrm{Hom}_* (U \wedge V, W) \cong \mathrm{Hom}_* (U, \mathrm{Hom}_* (V, W))$$ Por lo tanto, \begin{align} \mathrm{Hom}_* (U \wedge (V \wedge W), X) & \cong \mathrm{Hom}_* (U, \mathrm{Hom}_* (V \wedge W, X)) \\ & \cong \mathrm{Hom}_* (U, \mathrm{Hom}_* (V, \mathrm{Hom}_* (W, X))) \\ & \cong \mathrm{Hom}_* (U \wedge V, \mathrm{Hom}_* (W, X)) \\ & \cong \mathrm{Hom}_* ((U \wedge V) \wedge W, X) \end{align} así que tenemos un isomorfismo natural $U \wedge (V \wedge W) \cong (U \wedge V) \wedge W$. Uno también tiene que comprobar los diferentes axiomas de coherencia, pero esto debe ser sencillo.

También es posible omitir la construcción de la interna hom y simplemente trabajar con la natural bijection $$\mathcal{V}_* (U \wedge V, X) \cong \{ \text{bipointed morphisms } U \times V \to X \}$$ donde un bipointed de morfismos es una de morfismos en $\mathcal{V}$ que conserva el distinguido punto en cada variable por separado. El objetivo es mostrar que tanto $U \wedge (V \wedge W)$ $(U \wedge V) \wedge W$ representan el functor de tripointed morfismos.

Supongo que debe ser posible verificar la asociatividad de $\wedge$ utilizando sólo el hecho de que $\times$ conserva colimits en cada variable por separado, pero esto se ve considerablemente más tedioso que uno de los métodos descritos anteriormente.

Answer 2

Zhen escribe: "supongo que debe ser posible verificar la asociatividad de los ∧ utilizando sólo el hecho de que × conserva colimits en cada variable por separado, pero esto se ve considerablemente más tedioso que cualquiera de los dos enfoques descritos anteriormente."

En realidad es sencillo: $U \wedge (V \wedge W)$ es el cociente de $U \times (V \wedge W)$ que identifica a $* \times (V \wedge W)$$U \times * \times *$. Pero $U \times (V \wedge W)$ es el cociente de $U \times V \times W$ que identifica a $U \times * \times W$ $U \times V \times *$ (en particular,$U \times * \times *$). De ello se desprende que $U \wedge (V \wedge W)$ es el cociente de $U \times V \times W$ que identifica a $* \times V \times W$$U \times V \times *$$U \times * \times W$. El razonamiento se aplica a $(U \wedge V) \wedge W$. De hecho, esto muestra que ambos son isomorfos al objeto $U \wedge V \wedge W$ que clasifica tripointed morfismos.

Por cierto, toda esta construcción puede ser visto como un caso especial de una teoría más general sobre monoidal mónadas (véase, por ejemplo, arXiv/1205.0101) aplicado a la monoidal mónada $X \mapsto * + X$.

Finalmente, permítanme mencionar que no podemos aplicar esto a $(\mathsf{Top},\times)$, desde aquí $\times$ no conserva colimits en cada variable. De hecho, el smash producto de la punta de los espacios no es asociativo en general (prueba?).