Límite de integrales complicadas

Question

$$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x} \int_0^\frac{\pi}{4} e^{x(\cos t-1)}\cos t\ dt$ $ Intentó trabajar la parte integral, pero no funcionaba bien debido a la existencia de la parte e. Si hay un mejor y más convient para calcular este límite.

¡Gracias!

Answer 1

Laplace del método proporciona un método relativamente simple resultado. Aquí, uno ve que la integral es dominado por la contribución de un pequeño barrio acerca de la $t=0$. En este barrio, $1-\cos{t} \sim t^2/2$. El barrio es definido por $0 \lt x t^2/2 \lt \epsilon \implies 0 \lt t \lt \sqrt{2 \epsilon/x}$. Debido a que la integral contribuciones fuera de este barrio son exponencialmente pequeño, podemos aproximar la integral con

$$\int_0^{\infty} dt \, e^{-x t^2/2} = \sqrt{\frac{\pi}{2 x}}$$

Tenga en cuenta que nosotros estamos bien con el reemplazo del coseno fuera de la exponencial por $1$ debido a que, a este fin, no contribuye. El límite que usted busca es, pues,$\sqrt{\pi/2}$.

ANEXO

Just for laughs, vamos a comprobar numéricamente que esta es, de hecho, la correcta líder comportamiento asintótico. Aquí hay un par de comandos de Mathematica y de salida:

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Integral para ser evaluados. $$f(\text{x$\_$})\text{:=}\text{NIntegrate}\left[\cos (t) \exp (-x (1-\cos (t))),\left\{t,0,\frac{\pi }{4}\right\}\right]$$

-Logarítmica de la integral superpuesta con sus principales comportamiento asintótico: $$\text{Plot}\left[\left\{\log _{10}\left(f\left(10^x\right)\right),\log _{10}\left(\sqrt{\frac{\pi }{2}}\right)-\frac{x}{2}\right\},\{x,0,4\}\right]$$

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-Logarítmica de la diferencia entre la integral y líder comportamiento asintótico. Nota: la pendiente es $-3/2$, el exponente de la orden siguiente comportamiento:

$$\text{Plot}\left[\log _{10}\left(\left| f\left(10^x\right)-\sqrt{\frac{\pi }{2\ 10^x}}\right| \right),\{x,2,4\}\right]$$

Answer 2

Estoy de acuerdo con el argumento de Ron Gordon, que proporciona una manera muy concisa la prueba.

De otra manera : Considere la posibilidad de la misma integral, pero con el límite superior $= pi/2$ en lugar de $pi/4$. El límite es el mismo (el mismo argumento que ya se da por Ron Gordon). La ventaja es que una forma cerrada es conocido por la integral. Entonces, el límite de $x$ pueden ser derivados directamente :

$$\sqrt x\int_0^{\pi/2}e^{x(\cos (t)-1)}\cos(t)dt=\sqrt x\dfrac\pi2e^{-x}\big(I_1(x)+L_{-1}(x)\big).$$ $I_1(x)$ es función modificada de Bessel de primera especie.
$L_{-1}(x)$ es la modificación de Struve función.
Para $x\rightarrow\infty:$ funciones $I_1(x)$ $L_{-1}(x)$ son tanto equivalente a: $$e^x\left(\dfrac1{\sqrt{2\pi x}}+O\left(\dfrac1{x^{3/2}}\right)\right).$$ As a consequence: $$\sqrt x\int_0^{\pi/2}e^{x(\cos (t)-1)}\cos(t)dt \approx \sqrt x \dfrac\pi2e^{-x}\left(2e^x\left(\dfrac1{\sqrt{2\pi x}}+O\left(\dfrac1{x^{3/2}}\right)\right)\right) \\ \ \\ \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt x\int_0^{\pi/2}e^{x(\cos (t)-1)}\cos(t)dt=\sqrt{\dfrac\pi2}.$$

Corregido : hubo un error en el cálculo de la asintótica de la serie.