¿Cómo podemos estar seguros de que un conjunto de axiomas no conducirá a una contradicción? Si hay una contradicción, lo encontraremos primero o más tarde. Pero si no hay nadie, ¿cómo podemos estar seguros de elegido razonablemente los axiomas para que ninguna contradicción surgirá alguna vez?
¿Hay un enfoque general o para cada axioma conocido allí era una prueba específica? ¿(En el ejemplo, existen tal prueba para los axiomas de Peano)?
Pruebas presuponen axiomas. Con el fin de demostrar que "$T$ es consistente," tenemos que trabajar en algún otro sistema de axiomas $S$; esto significa, entonces, que nuestra prueba es sólo tan convincente como nuestra creencia en la consistencia de las $S$. Tenga en cuenta que incluso sin Goedel del teorema de la incompletitud, que no debe ser convencido por $S$ probar "estoy conforme" - por supuesto que si se fueron inconsistentes! Así que en realidad creo que Goedel es un arenque rojo, aquí.
Dicho esto, no matar el proyecto de la prueba de consistencia, sólo cambia. Con el fin de demostrar que una teoría de la $T$ es consistente, queremos encontrar algunos teoría de la $S$ para los que tenemos buenas razones para creer que es consistente, y, a continuación, probar dentro de $S$ que $T$ es consistente. Un ejemplo común de esto es el ordinal de análisis: el objetivo es asignar un orden lineal $\alpha_T$ $T$que es "claramente" bien ordenada, y, a continuación, mostrar que la muy débil de la teoría de la PRA, junto con "$\alpha_T$ es bien ordenada", demuestra que $T$ es consistente (estoy omitiendo muchos detalles aquí). Para $T=PA$, por ejemplo, esto fue hecho por Gentzen; el orden es el ordinal $\epsilon_0$. Esta es, sin embargo, de dudosa para convencernos de la consistencia de las teorías: la debilidad de las teorías como la $PA$, me parece que la consistencia de la $PA$ más "obviamente cierto" que el bien orderedness de $\epsilon_0$, y para el más fuerte teorías relevantes $\alpha_T$s son increíblemente complicado de describir.
EDIT: Symplectomorphic le preguntó sobre el modelo de la teoría de la respuesta: sabemos que una teoría es consistente si podemos exhibir un modelo. Hice omitir este de arriba, así que permítanme abordar ahora. Lo que me quieren convencer de que esto es un poco más complicado de lo que parece. Yo reclamo que - incluso si usted tiene un modelo de la teoría en la mano, usted todavía va a tener que hacer algún trabajo para convencerme de la consistencia de su teoría, y en última instancia, mi primer párrafo de arriba es todavía va a ser relevante.
Así que supongamos que usted tiene una teoría de la $T$ usted está tratando de convencerme de que es consistente, y usted tiene un modelo de $\mathcal{M}$ $T$ "en la mano" (lo que significa). ¿Qué se necesita para convencer a mí?
En primer lugar, usted tiene que demostrar que tener un modelo significa que su teoría es consistente. Esto suena trivial, pero es realmente un hecho acerca de nuestros sistemas de prueba - solidez. Es un muy básico hecho, pero, técnicamente, algo que requiere una prueba.
En segundo lugar, cuando nos presentan un modelo, lo que realmente estamos haciendo es describir un objeto matemático. Bien, usted necesita demostrar a mí que existe. Hay realmente complicado objetos matemáticos, y de ahí las teorías creemos que para ser consistentes, que seguramente no tienen "simple" de los modelos (como ZFC), por lo que esto realmente no es un tonto objeción en general.
Por último, aunque estoy convencido de que nuestra lógica es el sonido, y que la estructura que hemos descrito para mí existe, usted necesita para convencerme de que en realidad es un modelo de la teoría! Y el más complicado de su teoría es el más complicado de su modelo será, y por lo tanto más difícil es esta tarea será. De hecho, esto es super duro en general: es $(\mathbb{N}; +, \times)$ un modelo de la frase, "Hay infinitamente muchos de los números primos gemelos"? ¿Qué hay de "ZFC es consistente"?
Ahora, el primer obstáculo es un poco tonto - me parece bien tomar la solidez de la lógica por sentado. Pero la segunda y la tercera no son tan triviales (e incluso la primera no es realmente completamente trivial). Lo que estoy diciendo es que no hay manera de que la base para un reclamo de consistencia tan sólidamente como una reivindicación de la inconsistencia. Para mostrar que una teoría es inconsistente, que presentan una prueba de contradicción; y, a continuación, estoy completamente convencido. Para demostrar que una teoría es consistente mediante la exhibición de un modelo, usted necesita para construir un modelo y verificar que se cumple la teoría, y cada uno de los pasos implícitamente se lleva a cabo en un segundo plano de la teoría, cuya consistencia podría, en principio, pregunta.
Por Gödel Teoremas de la Incompletitud es conocido que cualquier suficientemente potente sistema de axiomas no puede probar su propia consistencia (es decir. que no hay contradicción surge). Esto se aplica a PA (la axiomatization de números naturales) y ZFC (el ampliamente utilizado axiomatization de la teoría de conjuntos).
Así que debemos asumir la consistencia o demostrar de una nueva serie de axiomas, sin embargo, que el conjunto de axiomas también será incapaz de probar su propia consistencia.
Si un conjunto de axiomas conduce a una contradicción, significa que los axiomas son el equivocado, se podría decir que "no útil" - o representan las entidades o de las operaciones que son algo diferentes a nuestra intuición.
No creo que en general habrá una manera de estar absolutamente seguro de antemano de un problema; contradicciones generalmente significa una necesidad de revisar las definiciones incrustado en los axiomas, si no los axiomas mismos, con el fin de evitar, por ejemplo. el principio de la explosión.
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