¿Cuál es el punto de epimorphisms extremal en teoría de la categoría? ¿Por qué no usar epis fuerte en su lugar?

Question

He estado tratando de conseguir mi cabeza alrededor de los diversos tipos de epimorphisms consigue en la categoría de teoría, pero no puedo ver por qué nadie usa "extremal" epis frente a los poco menos de la noción general de "fuerte" epis.

Cada fuerte epi es extremal; extremal epis puede ser demostrado ser fuerte si usted tiene pullbacks; de modo que las nociones coinciden en casi cualquier categoría es probable que esté trabajando. Así, por ejemplo, en la parte Superior de la extremal epis = fuerte epis = cociente de mapas (en oposición a cualquier edad surjective mapa continuo).

Lo que es más, la definición de un "fuerte" epi surge de forma natural cuando intenta averiguar cuáles son las condiciones que usted necesita para poner en un epi para llegar único epi-monic factorización. Trate de probar que el Conjunto tiene la única epi-monic factorización, por ejemplo; usted va a terminar resultando un lexema que los estados, todos los epis en Conjunto son fuertes.

La definición de "extremal", en contraste, parece salir de la nada. Así que ¿por qué molestarse con extremals? Es allí cualquier uso o la motivación para la definición, o es sólo una especie de histórico de la resaca?

Gracias de antemano por cualquier tipo de luz puede arrojar sobre este.

Answer 1

Aunque todos que te importa son epimorphisms fuertes, es todavía bueno demostrar que tienen propiedades agradables, y una de esas propiedades es que son extremal.

No entiendo tu afirmación de que la definición de un epimorphism extremal viene de la nada. Parece como una condición natural escribir si estás pensando en epi-mono factorizaciones; un epimorphism extremal es uno que no factor a través de un monomorfismo no trivial.

Answer 2

Al $X \to I \to Y$ es una imagen de la factorización de un morfismos $X \to Y$, $X \to I$ no es un factor a través de una adecuada subobjeto de $I$. Por lo tanto, si $X \to I$ es epi (que es bastante habitual), entonces es un extremal de epi. Esta es la forma en que aparecen en la naturaleza, y tal vez es uno de sus motivaciones. Fuerte epimorphisms son un poco más complicado de definir. Sospecho que son los correctos analógica para las categorías donde no pullbacks existen.

Answer 3

Epimorhpisms se pretende capturar la idea de 'surjectivity'. Sin embargo, después de algunas búsquedas concretas a través de las categorías, se encuentra que epimorphisms no acababa de conseguir surjectivity derecho. Lo hacen en la parte Superior, en Conjunto, y Grp, pero el contador de ejemplos, como la fluencia en Anillo (anillos con 1, y el anillo homomorphisms que preservan 1), tales como la inclusión de los enteros en los racionales. Sin embargo, si hemos fortalecido epimorphism a extremal epimorphism, nos encontramos con que estos son precisamente los surjective anillo homomorphisms. En nuestra contra-ejemplo anterior, la inclusión de los números enteros también factores a través de la inclusión de la diádica racionales, que no es una isomorpism (dyadic racionales no son un campo). Además, extremal epimorphisms también implica surjectivity en Haus donde el epimorphisms son precisamente la continua mapas con sólo densos. Extremal epimorphisms todavía no precisar surjectivity en todas las categorías concretas, pero son una tierra de en medio y que implican surjectivity en las categorías que son las más estudiadas.