¿Cuál es $G/H = G/K$? ¿En particular, cuando son dos grupos de Lie con isomorfo mentira isomorfo de algebras?

Question

Supongamos $G_1$ $G_2$ son Mentira grupos con isomorfo álgebras de Lie. Luego de estándar Mentira teoría sabemos que no es un simple conectado Mentira grupo $G$ tal que $G/H_i = G_i$ donde $H_i$ es un subgrupo discreto del centro de $G$. Tengo curiosidad de saber si hay una buena condición en $H_1,H_2$ y de cómo se sientan en $G$ que implica la $G_1$ $G_2$ son isomorfos.

Más generalmente, supongo, cuando se $G/H = G/K$ para un grupo general $G$ y normal subgrupos $H$ $K$ (tal vez tener $H$ $K$ estar en el centro hace las cosas más fáciles?).

Answer 1

Comentario de RB grabados como respuesta:

La condición es que hay un automorphism $f:G→G$ tal que $f(H_1)=H_2$. La idea es si $h:G_1→G_2$ es un isomorfismo, levante un mapa $G→G$.