Que $(M,g)$ ser un múltiple de Riemannian compacto, cerrado. Que $u \in C^{k}(M)$. ¿Siempre puedo encontrar una secuencia de $C^\infty$funciones $\{u_n\}$ tal que $u_n$ converge a $u$ $C^k$ norma?
Respuesta
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Sí, usted puede!
La prueba de la densidad de $\mathcal C^\infty(M)$ $\mathcal C^k(M)$ es bastante técnico resultado:
A nivel local (que está en subconjuntos de a $\mathbb R^n)$ el resultado es demostrado por el uso de las circunvoluciones con las funciones lisas y luego, como era de esperar, el uso de particiones de la unidad para obtener el resultado global.
En lugar de la aproximación de funciones $u\in \mathcal C^k(M)$ $\mathcal C^\infty$- funciones usted puede incluso tomar maps $U\in \mathcal C^k(M,N)$ en otro colector $N$ aproximado en el $\mathcal C^k$-topología suave mapas en $\mathcal C^\infty(M,N)$.
Usted puede encontrar una detallada prueba de esta generalizada resultado de Hirsch de la Topología Diferencial, Teorema 2.6, página 49.
