Si $0\leq f_n$ $f_n\rightarrow f$ a.e y $\lim\int_Xf_n=\int_X f$, es cierto que $\lim\int_Ef_n=\int_E f$ % todos $E\in\mathcal{M}$.

Question

Si $0\leq f_n$ y a.e de $f_n\rightarrow f$ y $\lim\int_Xf_n=\int_X f$, p, rove o refutan que $\lim\int_Ef_n=\int_E f$ % todos $E\in\mathcal{M}$.

Creo que es cierto. Es fácil ver $\lim\int_Ef_n\geq\int_E f$ usando lema de Fatou, pero yo no pude mostrar que $\lim\int_Ef_n\leq\int_E f$.

Para refutar, cada vez me siento frustrado por cualquier convergencia de a.e o no negatividad.

Gracias de antemano,

Answer 1

$X= [0,\infty]$ De tomar y definir tomar $f_n=n^2 \chi_{[0, \frac{1}{n}]}$ luego le $\lim _{n\rightarrow \infty} \int _{X} f_n =\infty$pero $f = 0$ casi en todas partes así $\int _{X} f =0$ a arreglar eso definir $\tilde{f}_n =n^2 \chi_{[0, \frac{1}{n}]} + \chi _{[1,\infty]} $. Ahora $\tilde {f} = \chi _{[1, \infty]}$ casi en todas partes.

La hipótesis ahora es satisfecho pero si restringe el integral en $[0,1]$ no tiene el comportamiento deseado de la limitación.